现代物理学前沿选讲习题

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1、习题课现代物理学前沿选讲1习题2利用下面简单的布朗运动模型，证明爱因斯坦关系，并给出D的表达式。模型：把Brown粒子在特定介质中的运动轨迹看成n个矢量的叠加：而，。粒子微观运动的平均自由程为l，相应的平均速率为v，自由时间为t，显然有l=vt。l、v在给定介质和给定温度下都可看成常数，温度T变化时，。假设粒子每次碰撞后的散射都是随机各向同性的。2提示1：假设ri，rj均近似等于l，粒子每走一步的时间均近似等于t，于是n步的总运动时间t=nt。提示2：由于散射各向同性，可以证明i≠j时，

2、qij>=0，qij为夹角。提示3：利用。…………3证明：由于i≠j时，=0，所以得出令即可得出爱因斯坦关系：4习题3考虑康普顿散射，频率为n的光子与一静止电子碰撞，碰撞后光子频率变为n′，电子获得速度v。假设碰撞为弹性，散射角q可测，求n′与n的关系。5提示1：的动量为。提示2：利用能量和动量守恒原理，写出n，n′，v，q，j所满足的3个方程，然后消去变量j和v，便得n，n′和q之间得一个关系。答案：式中，，为散射前后的波长，称为Compton波长。6解：由能量守恒和动量守恒：

3、利用(2)、(3)消去j，得：7代入(1)，得：将n=c/l及n´=c/l´代入，得：整理两边乘以l´2，得：令D=l-l´则l´=D+l，得：89由于D/l<<1，则D/l+1~1，略去D/l得：称为电子的Compton波长。10习题4从下列简单模型导出关系（m0及m分别是相对静止及运动坐标系的质量）模型：如图碰撞前碰撞后Soo´yy´x，x´zz´u´BS´—>vA-uS´—>voo´yy´x，x´zz´uAB-u´S11有甲、乙二人分别在S、S´系中作实验和测量。沿着各自的y轴用相同的速率

4、u=u´（甲向上，乙向下）将二同样的、质量为m的弹性球A、B向各自坐标系的原点掷出。设u<

5、给出碰撞前后A、B二球的动量：AB碰撞前？？碰撞后？？再应用总动量守恒定律，即可导出所求关系。13解：在S系观测A在S´系观测B碰前u-u´碰后-uu´在S系观测B，利用Lorentz速度变换式，得：14而在S系观测时，由于u<

6、度为v，则二质量系统的动能为（牛顿力学）（狭义相对论），c为光速。16提示3：利用能量守恒定律：T+V=const参考数据：17解：设r=时v=0，此时T=0，V=0，T+V=const＝0从牛顿力学分析：根据能量守恒把太阳的半径和质量代入，得：18把地球的质量和半径代入，得：若要，则需。单位换算：19从狭义相对论分析根据能量守恒20只有当时，v=c。总结：当时，星体已经坍缩为黑洞。所以无论从牛顿力学还是狭义相对论分析，都不能使一质点加速到超过光速。21习题6利用量纲分析的方法，从普适常数

7、，c和引力常数G找出一个具有能量量纲的量。（写出寻找的过程）22量纲：就是指物理量的单位的性质。例如：长度的量纲：[L]m，cm，km，……质量的量纲：[M]g，kg，mg，…...时间的量纲：[T]s，……能量的量纲：[ML2T-2]23解：将的单位用基本单位表示出来：利用24利用量纲分析：得方程组：25习题7利用Lorentz变换，证明多普勒关系：qqSS´—>voo'xx'yy'Prr'(x,y),(x',y')26提示1：S´系相对S系以速度v运动，在S´系中有一光源发光，设光线在xy

8、面内射入S系并与x轴成q角，在t时刻入射波阵面上，相位为，w是S系中测得的光的角频，；而在S´系中相应的时刻t´的相位为，。由于相位是Lorentz不变量，故有。27提示2：将Lorentz变换代入，有比较t，x的系数得：，。由此二式解得，当q＝0时，有。28波阵面：相位相同即相位是常数的面。例：平面波，波阵面满足，即相位是Lorentz不变量?在Lorentz变换下，如四维坐标(t,x,y,z)同样变换的量称为矢量，而不变的量称为标量。可以证明两个矢量的标积在Lorentz变换下是不变的，是标