离散数学课后练习3

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1、第三章习题1.判断下列各题的正确与错误。（1）{x}{x}（2）{x}{x}（3）{x}{x,{x}}（4）{x}{x,{x}}解：（1）正确，（2）错误，（3）正确，（4）正确。2.写出下列集合的表示式（1）所有一元一次方程的解能组成的集合；（2）在实数域中因式集；（3）直角坐标系中，单位圆外的点集；（4）极坐标中，单位圆外的点集；（5）能被5整除的整数集。解：（1）（2）（3）（4）（5）3.确定下列各题是真还是假，并简要说明之：（1）（5）（２）　　　　　　　　　　（６）（３）（7）（４）（8）解：（1）正确即命题为真。因为空集是任何集

2、合的子集。（２）不真即假命题。　属于关系是元素与集合的　　关系（３）真命题（４）真命题（５）真命题（６）假命题（７）真命题（８）真命题　　　４．设Ａ，Ｂ，Ｃ为任意集合，证明或反驳下列命题：（１）（２）（３）（４）（５）（6）（7）（８）解：（１）错误。反例：（2）错误。反例：（3）错误。反例：（4）错误。反例：（5）正确。因为。又因为，所以，又因为所以。（6）正确。由（5）。（7）错误。反例：。（8）错误。反例：。5、试求下列各集的幂集：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）{{{}}，{，{{}}}，{，{},{{}}},{,{},{,

3、{}}},{,{{}},{,{{}}}},{{},{{}},{，{}}}，{，{}，{{}}，{，{{}}}}6，设某集合有101个元素，试问（1）可构成多少个子集？（2）其中有多少个子集的元素为奇数？（3）是否会有102个元素的子集？解：（1）可构成个子集。（2）其中有++…+=个集合元素为奇数。（3）不会有102个元素的子集。7.设S={,,…,},由和所表达的子集是什么？又如何去规定子集{，，}及{，}？(超出教科书范围)8．分别求下列集合的交和并：（1）={x

4、0x<1/n}(n=1,2,3…..)(2)={x

5、0

6、,2,3…..)（3）解：（1）（2）（3）9．给定自然数集N的下列子集：A={1、2、7、8}C={i

7、i可被3整除，0i30}求下列集合：（1）(2)（3)(4)解：根据定义知B={0、1、2、．．．７}C=(0、3、6、9、12、15、18、21、24、27、30)D={2468163264}因此（1）={0,1,2,3,4,5,6,7,9,12,15,18,21,24,27,30,8,16,32,64}(2)=(3)={4,5,7}(4)={0，3，4，5，6}D={0，2，3，4，5，6，8，16，32，64}10.证明下列各式：（

8、1）证：有或，有（且），或，从而或即因此另一方面，，有或，从而（且）或，即，从而，因此。（2）证：反证法.假设,则存在,即且.从而且且.矛盾.所以..(3)证:首先证明从而.(4)证:左右.(5)证:左=右(6)证:左=右（7）证：右=====左（8）证：左======右（9）证：左=====右（10）证：左==右：教材印刷有误！⑾证：左⑿证：利用⑾题方法可证。⒀证：右左⒁证：=（CA~C）(CA~B)=(CA~B)=C(A~B)=C(A-B)=左（15）证：左右11.证明下列各对条件是等价的：（1）证明：由（2）且证：由，显然有且.另一方面

9、.若且，则有或.由条件得.所以.因此，与且是等价的。证：，易推出另一方面，若，则，由条件知，从而，，即因此与是等价的。证：若所以，若则所以，因此。证：若所以若，则从而有因此，。（6）证：若所以因此12、要使下列等式成立，集合A与B之间应满足什么条件？从而，有即即同理，由可推出所以有A=B即（5）解：即由得因此，（6）解：因为所以，由得从而有从而有即因此，若，则有（9）当且仅当解：CAB由图可知：该命题为假。16．设A.B是任意集合（1）若，则A.B有何关系？（2）若，则A.B又有何关系？解：见习题12。17．（1）已知，求证（2）已知，问：是

10、否有证明：（1）因为所以从而有因此，。（2）结论不一定成立。反例：，有但。18设集合A={a,b,c},求P（a）？解：19．下列各式中哪些成立，哪些不成立，为什么？解：反例：（3）不成立。反例：（4）成立。事实上，（5）成立。事实上，(6)成立事实上，20.省略21设试求（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）(2)(3)(4)(5)(6)22、证明Bernoulli不等式：对每一个实数和每一个自然数n,有。证明：对n归纳。当n=0时，结论显然成立。假设当n=k时，有。看的情形，因,从而有既归纳完成，命题得证。23考虑Fibonacc

11、i序列定义如下令证明对于所有证明：对n作归纳当n=1时，绪论成立、假设而所以，归纳完成，命题得证。24证明关于x,y的方程的自然数解的组数证明：对n归纳当n=0时，