刚体运动微分方程与刚体静力学

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1、§5刚体运动微分方程与刚体静力学上次课我们讨论了作用在刚体上的力的性质和一般力系的简化问题。说明了作用在刚体上的力系可以简化成一个力和一个力偶。这一结论很重要，它是建立刚体运动微分方程和静力学方程的重要根据之一。另外，在空间自由运动的刚体，总可以分解为随质心的平动和绕质心的转动。所以自由刚体有三个描写质心平动的自由度和三个绕质心转动的自由度，共有6个自由度。既然刚体在空间有6个自由度，那么刚体的运动规律就需要用6个独立方程来描写。我们上一章得到的质心运动定理刚好可以确定刚体的质心运动，而动量矩定理又可确定刚体绕质心的转动。这样的两个定理是两个矢量方程，两个矢量方程分解后正

2、好有六个独立的标量方程式。因此，这两个定理就完全确定了刚体的运动。于是我们根据①作用在刚体上的力系可以化成一力和一力偶，和②刚体有三个质心自由度，三个绕质心的自由度，以及③质心运动定理和动量矩定理这三个依据可以建立。一、刚体运动微分方程：1、由质心运动定理：m=F是主矢，描写刚体质心的三个标量运动微分方程为2、对质心的动量矩定理：可得描写刚体绕质心转动的三个标量微分方程为：[要注意这里的都是相对质心的量]，这里的MX,’、My/、和MZ/是作用在刚体上的所有外力对质心的主矩在三坐标轴x、y、z上的分量。显然六个自由度，六个独立方程，恰好可以确定刚体的运动规律，因此这两组方

3、程是研究刚体动力学规律的基本微分方程，也叫做刚体动力学方程。上面描述刚体转动情况的第二组方程是根据质点组的质心动量矩定理得到的。此外，我们根据质点组对固定点的动量矩定理，也可以得到刚体相对固定坐标系中固定点O的动量矩定理：这里的、和都是相对固定点O的量，例如是刚体相对固定点O的动量矩，是力的作用点相对固定点的位矢，所以这里的是所有外力对固定点的力矩的矢量和，也叫做作用在刚体上的外力对固定点O的主矩。由此可见，质点组的一些基本定理对刚体同样适用。上面给出的两组方程，是研究刚体动力学规律的基本方程，除此之外，我们也可以应用动能定理，把动能定理作为一个辅助方程，来代替上面这六个

4、方程式中的任意一个。3、辅助方程：，我们知道这个方程就是上章推出的质点组的动能定理，它对刚体适用吗？当然是适用的。只是刚体是一种特殊的质点组，对刚体这个特殊的质点组来说，内力所作元功之和必等于零，这个结论我们已在上章证明过的，所以将质点组的动能定理应用于刚体时应该是即表明刚体动能的增量就等于刚体在运动过程中诸外力所作元功之和。另外还可以看出，如果作用在刚体上的力系为保守力系的话，那么由这条刚体动能定理马上就可得到它的能量积分，这个能量积分也就是刚体的机械能守恒定律：T+V=E。一、刚体静力学：1、刚体的平衡方程；由于刚体静力学是刚体动力学的一种特殊情况，因此我们由刚体动力

5、学方程很容易推出研究刚体静力学问题的刚体的平衡方程。所谓的刚体静力学就是研究刚体相对固定坐标系保持静止状态的力学。我们由刚体运动微分方程不难看出，要使刚体保持静止状态，也就是要使刚体保持平衡状态的充分必要条件是：即作用于刚体上的外力主矢等于零和外力对质心C的主矩等于零。另外我们由⑴和⑶式也可以得到刚体平衡的充要条件为：这两组平衡条件是等价的。因为，作用在刚体上的第i个力的作用点i相对质心c的位矢，是作用点i相对任一固定点O的位矢，见左图可见（2）式完全等价于（2）′，因此说，上面两组平衡方程是等效的。这也就说明了刚体平衡的充分条件就是作用在刚体上的所有外力的主矢和对任意固

6、定点的主矩都等于零。由于自由刚体在空间具有六个自由度，所以将①/和②/投影到笛卡儿坐标就有六个平衡方程这六个独立方程就是求解刚体静力学问题的基本方程。2、汇交力系的平衡方程如果作用在刚体上的力系为汇交力系时，则刚体的平衡就简化为：即3个标量平衡方程。如果作用在刚体上的力系为平面力系。由于平面力系是空间力系的特例。3、平面力系的平衡方程空间力系的平衡条件：,对平面力系的平衡问题也适用，也就是说平面力系的平衡条件仍然是作用在刚体上的外力的主矢和主矩都等于零。矢量方程是相同的，但标量方程是不同的。平面力系的标量形式的平衡方程只有三个。如果我们取平面力系所在的平面为XY平面，则平

7、面力系的平衡方程为：平面力系只有三个独立方程，比空间力系少了三个独立方程。这三个方程是平面力系的最基本形式的平衡方程。除了这种形式之外，平面力系的平衡方程也可以采用另一种形式来表达。至于采用那一种形式，那得根据具体问题来定的。关于刚体静力学问题要求的无非是求力或者求位置这两类问题。虽然刚体静力问题只是求作用在刚体上的力或者求刚体的位置这样两类问题，但是求解刚体静力学问题并不是都很容易的事情，有很多静力学问题是很难解的……。求解刚体静力学问题的主要数学要求是三角几何。在求解刚体静力学问题时要注意的几点是，我刚才已讲过，刚体静力学