具有时滞的传染病动力学模型

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1、具有时滞的传染病动力学模型专业：信息与计算科学班级：信息121信息122摘要：13:具有时滞的传染病模型能较好反映传染病的潜伏期、免疫期等问题，对其研究越来越受到重视。利用计算机模拟方法对具有时滞的传染病动力学模型进行了分析，阐述了数值仿真的基本原则。采用时滞微分方程的数值解法对模型进行了定性分析，给出了数值仿真的应用实例。结果表明该方法是有效的，并具有潜在的应用价值。关键词:传染病模型；时滞微分方程；数值仿真一、问题背景近年来随着环境污染、生态破坏和频繁的国际交流，国内外重人传染病爆发时有发生，如SARS,禽

2、流感和艾滋病等，这使得对传染病的研究越来越重要。在对传染病的诸多研究中，利用数学模型对传染病进行定性研究是个重要课题。由于具有时滞的传染病模型能更好与实际情况相符，所以近年来对其研究受到了人们的广泛重视。随着计算机的发展，在研究方法上，除了传统的理论分析外，计算机模拟也是研究的重要手段，一此重大发现就是通过数值仿真得到的。虽然如此，但迄今为止利用计算机仿真方法研究时滞传染病模型的工作还很少。我们试图在此方面对此尝试，将时滞微分方程数值算法应用于传染病模型研究，取得了较好的结果，总结出了数值仿真的基本原则，说明该

3、方法其有潜在的应用价值。二、模型建立“时滞”在传染病中是个基本的因素，并在传染病的传播过程中起着重要作用，它可以反映传染病的潜伏期，患者对疾病的感染期和恢复者对玖病的免疫期等实际现象，因此使用时滞”模型更贴近实际。如Busenberg和Cooke将时滞因素引入到由媒介传播疾病的SEIS模型中用时滞项来反映传染病的潜伏期，建立了如图1所小的仓室框图。13此模型中，把传染病地区的人群分为三类：用S(t),E(t),I(t}分别表示易感者、在潜伏期的感染者和染病者。箭头所指方向可以清楚的显小出各类人群流动的情况，T>

4、0是模型的时滞项，代表疾病在人群中的潜伏期，r>0表小感染者被治愈后返回到易感人群中的速率，是易感者和传病媒介间的有效接触系数。由仓库框图容易得到对应数学表达的动力学模型：（1）上述传染病动力学模型实质上是个具有时滞的微分方程组，对该模型进行数值仿真，就是对方程组(1)求解，通过研究该方程组解的变化，从而得到如传染病的发展趋势等相关内容。三、模型分析通过对实际模型的多次数值仿真实验，得到了数值仿真的基本原则1、运算精度优先：由于一般传染病模型对应的方程组维数不高，对非刚性的时滞传染病模型应使用至少四阶精度的数值

5、方法如果采用精度不高的数值方法，会造成较大的误差，从而对理论分析造成很大的偏差。下面我们从实际的程序数值运行和图示方法加以比较。2、模型分析程序：一阶Euler方法#include#defineN10floatf(floata,floatb)13{floatc;c=b-2*a/b;returnc;}main(){inti;floath=0.2;floatX[N]={0.0};floatY[N]={1.0};for(i=1;i<=5;i++){X[i]=X[i-1]+h;Y[i]=Y[i-1]+

6、h*f(X[i-1],Y[i-1]);}for(i=0;i<6;i++)printf("%f",Y[i]);}四阶R–K方法#include#defineN10#defineM30floatf(floata,floatb){floatc;c=b-2*a/b;returnc;}main(){inti;floath=0.2;floatX[N]={0.0};floatY[N]={1.0};floatk[M];13for(i=1;i<=5;i++)X[i]=X[i-1]+h;for(i=0;i<5

7、;i++){k[i]=f(X[i],Y[i]);k[i+1]=Y[i]+h/k[i]/2.0-2.0*(X[i]+h/2.0)/(Y[i]+h*k[i]/2.0);k[i+2]=Y[i]+h*k[i+1]/2.0-2.0*(X[i]+h/2.0)/(Y[i]+h*k[i+1]/2.0);k[i+3]=Y[i]+h*k[i]-2.0*(X[i+1])/(Y[i]+h*k[i]);Y[i+1]=Y[i]+h*(k[i]+2*k[i+1]+2*k[i+2]+k[i+3])/6.0;}for(i=0;i<6;i++)p

8、rintf("%f",Y[i]);}3、图例解释：某模型，采用四阶R-K方法可得到如图2所示的闭合轨线图，其中闭轨反映了系统解的周期变化如果用一阶Euler方法得到如图3所示的相图，13可以看出当算法精度不高时，在每步处下滑到另条解曲线、容易得出错误的分析结果所以我们采用经典四阶RK方法对模型进行数值仿真。四、时滞微分方程的数值仿真实现由于传染病模型多是非线性系统，因此，给出如下的