2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)

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1、2013年上海高考理科数学一、填空题1.计算:2.设,是纯虚数,其中i是虚数单位,则3.若,则4.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)5.设常数,若的二项展开式中项的系数为,则.6.方程的实数解为________7.在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________.8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)9.设AB是椭圆的

2、长轴,点C在上,且,若AB=4,,则的两个焦点之间的距离为________10.设非零常数d是等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差11.若,则.12.设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________13.在平面上,将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为__________14.对区间I上有定义的函数,记,已知定义域为的函数有反函数,且,若方程有解,则二

3、、选择题15.设常数,集合,若,则的取值范围为()(A)(B)(C)(D)16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件17.在数列中,,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()(A)18(B)28(C)48(D)6318.在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足().(A)(B)

4、(C)(D)三、解答题19.(本题满分12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.20.(6分+8分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.21.(6分+8分)已知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像

5、向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.22.(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.23.(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.(1)若,求

6、及;(2)求证:对任意,;(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.2013年上海高考理科数学(参考答案)一.填空题1.2.-23.04.5.-26.7.8.9.10.30d²11.12.13.14.2二.选择题题号15161718代号BBAD一.解答题19.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故,故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C;直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得而

7、中,,故所以,,即直线BC1到平面D1AC的距离为.20.【解答】(1)根据题意,又,可解得(2)设利润为元,则故时,元.21.【解答】(1)因为,根据题意有(2),或,即的零点相离间隔依次为和,故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.23.【解答】:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;(2)直线与C2有交点,则,若方程组有解,则必须;直线与C2有交点,则,若方程组有解,则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”。(3)显然过圆内一点的直线

8、若与曲线C1有交点,则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则直线与圆内部有交点,故化简得,。。。。。。。。。。。。①若直线与

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