strongart数学笔记：有限群的tate上同调

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1、有限群的Tate上同调对于有限群而言，除了通常意义上的同调与上同调之外，还有一类专门的TateCohomology，其指标可以在所有整数上有定义，可以视为同调与上同调合体后的产物。对于具有相当数学素养的人而言，这无疑是一件非常美妙的事情，下面我就来具体阐述一下。我们知道群的同调可以是通过投射分解计算，上同调则可以通过内射分解计算，这里我们要把投射分解与内射分解结合起来，构造出一个两边都开放的完全分解，其上同调群就TateCohomology.一般状况下，投射模与内射模并没有明显的联系，这里我们需要减弱条件，进入到

2、相对同调代数的领域，引入所谓相对内射模的概念。实际上，相对内射模就是说对G与其有限指标子群H，当单射i：M→N视为H-模可裂时，作为G-模的诱导映射i^*是满射。利用上诱导与限制的平衡性，可以证明对任何H-模N，上诱导G-模Coind（N）是相对内射的，进而任何G-模M均可嵌入典型相对内射模Coind（Res(M）），并且当M是（有限生成）投射模时，被嵌入的也是（有限生成）投射模。这样的嵌入关系就导致了链式反应，得到一个投射模的后项分解，进而得到了由投射模组成的完全分解。对于完全分解而言，借助于对偶的概念，还有更

3、加简明的刻画。对交换环R，记F=Hom（F，R）为F的对偶，它可以把普通投射分解变成后项投射分解。可以先取两个投射分解P.与Q.，Q.的对偶Q.就与P.组成了完全分解，它结构形如…→P0→Z，Z→Q0→…，复合一下可得…→P0→Q0→…，再把所有Qi记为P-i-1，便得到了由{Pi：i∈Z}构成的完全分解。这样构造的TateCohomology借助了原先的分解，与普通上同调的差别仅在于“接缝”的地方。具体来说就是：当i＞0时，TateH^i=H^i;当i＜-1时，TateH^i=H^(-i-1).而TateH^(

4、-1)=kerN,TateH^0=cokerN,这里N称为范映射，实际上就是G内所有元素之和（G有限！）。下面我们看一下循环群的例子，对于循环群Zp，普通上同调的情况是：H^i（Zp）=Zp，若p是正偶数；H^i（Zp)=Z，若p=0；H^i（Zp）=0，若p是奇数或负的。而相应的TateCohomology则是：TateH^i(Zp)=Zp,若p是偶数TateH^i(Zp)=0,若p是奇数显然，TateCohomology的结论消除了零阶这个“奇点”，无疑要比普通上同调完善很多，事实上我们有结论群G的TateC

5、ohomology是周期为2的iffG是循环群。除了周期为2的情况之外，一般情况又如何呢？实际上，像同调长正合列、函子可消性、杯积对偶等等的性质，TateCohomology都与普通上同调类似，但这个周期上同调却是TateCohomology特有的有趣性质。对于周期上同调，一个简明的等价条件是：G有周期上同调iff对某d≠0，TateH^d(G,Z)≌Z/

6、G

7、Z(≌TateH^0(G,Z))实际上就是说可以把它“平移”到原点处理，具体可以解释为存在元素u∈TateH^d(G,Z)可逆，其同构可以由-∪u诱导。由

8、此我们得到一个简单的推论：若G有周期上同调，则G的任何子群H也是如此。接下来研究带有周期上同调的群有何性质，这可以通过p-群进行处理：有限群G有周期上同调iffG的任何Sylow子群有周期上同调。我们先研究p-群G的周期上同调，假若G包含形如Zp×Zp的子群，那么由Kunneth公式可得TateH^n（Zp×Zp，Zp）作为Zp-向量空间是n+1维的，因此它就是不是周期的。这样我们得到，若p-群G有周期上同调，则p的任何Abel子群都是循环的，进而得到G有唯一的p阶子群，再引用一下有限群论中的定理，最终得到G是循

9、环群或广义四元数群（此时p=2）。幸运的是，这两种群确实有周期上同调，这就完成了整个循环的推理。把p-群的结论应用到一般情况，可以得到结论：G有周期上同调iffG的任何Sylow子群是循环群或广义四元数群。此外，我们还可以轻装上阵，只做局部化处理。考虑对某个固定素数p的周期上同调，便可得到结论：G有p-周期上同调iffG的p-Sylow子群是循环群或广义四元数群。最后简单提一下TateCohomology的推广，实际上它可以推广到满足一定有限条件的（无限）群上。具体来说，就推广到vcd（G）有限的群上，即存在某个

10、有限指标的子群H，满足其上同调维数cd（H）有限。对于这样的群，我们也可以构造某种完全分解，所得到的上同调称为FarrellCohomology，对此本文就不再详细阐述了。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无