strongart数学笔记：浅析群的同调与上同调

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1、浅析群的同调与上同调群的同调与上同调可以说是同调代数与代数拓扑的一个交叉领域，其成果又可以应用到群论本身，这里我来讲一点它的初步思想，主要还是侧重于中纯代数方面。对于想了解拓扑背景的朋友，请参阅KennethS.Brown的著作CohomologyofGroups（GTM87），还有他的paper：LecturesonCohomologyofGroups（收录于ALM12）.在群的同调（或上同调）的定义中，一个关键的概念就是由群G给出的G-模，对此可以有两种理解方式。第一种理解是群作用的，就是把G-模A中G

2、的元素g对A的元素a的数乘ga理解为群（对Abel群）的作用，仔细的读者还会发现这样的作用并不完全，还要满足一个可加条件（g+h）a=ga+ha才行。其中有一类作用是平凡的：ga=a，它们同调群计算特别简单。第二种理解是表示论的，它实际上是考虑G到M的自同构群的同态σ：G→Aut（A），而把ga解释成σ（g）（a），它无疑比前者要更加优雅。一般意义上同调都是在模正合列上定义的，特别是模的正合列，但这里群的同调中怎么会出现模的结构呢？事实上，第一种解释已经有一个雏形了，只不过它的系数还不是环，为此我们可以做一

3、个自然的线性推广，也就是引入群代数ZG的概念，而这个群代数自带的环结构就是模的系数环。做了上述分析之后，我们就可以引入群的同调（或上同调）的概念。先ZG上Z的投射分解F（本文中表示链复形的字母加下划线以示区别），然后定义H_*（G，A）=H_*（F⊙A)=Tor_*(Z，A)H^*（G，B）=H^*（Hom（F，B））=Ext^*(B，Z)其中，Hom函子与通常的Hom函子略有区别：Hom（F，B）n=Hom（F-n，B）.在被定义项中，群G实际上是作为张量积与Tor函子（或Hom与Ext函子）的系数出现的

4、，而分解则是在Abel群Z上进行的。这样一来，群的同调就被纳入到一般链复形同调的结构当中，关于一般链复形同调的结论，比如长正合列定理，也都可以应用到群的同调理论中。对于一个新领域，一般都是先把容易得到的结论揭示出来，而把较难得到的结论作为专门的研究领域。下面我们来计算一些最简单的情形，它们包括：1）低阶同调；2）循环群的同调；3）同调为零的情况。1）零阶情形：H_0(G，A)=A_G,H^0(G，B)=B^G其中A_G表示A关于G的上不动点集，即G对由所有形如ga-a的元素生成的子群的商；而B^G则是G在B

5、上的不动点集，即所有满足gb=b对任何g∈G都成立的b∈N构成的群。特别地，在平凡作用下，A_G=A，B^G=B，这些都可以通过张量积与Hom函子直接计算。对一阶的情形，我们可以通过正合列来计算其同调，在平凡作用时有明显的结论：H_1(G，A)=A⊙GabH^1(G，B)=Hom（Gab，B）其中Aab是A的Abel化，即A对其交换子A'的商。此外，H^1(G，A)还有其特殊的意义，它是G到A的导子群对主导子群的商，同时与G关于A的可裂扩张的可裂A-共轭类一一对应。与之相应，H^2(G,A)则一一对应于G关

6、于A的扩张的等价类。对于二阶的情形，似乎没有特别简单的结论，只是当A=Z的时候，我们有重要的Hopf公式：若G可以分解成0→R→F→G→0，其中F是自由的，则H_2(G)=R∩[F,F]/[F,R].2）循环群的同调：这里的计算过程非常有价值，它为我们提供了计算群同调与上同调的模板。具体来说，计算n阶循环群G=时，就是对Z作G-自由分解：…→ZG—→ZG→ZG—→ZG→ZG→Z→0其中ZG之间的长箭头—→是范映射N=1+x+…+x^(n-1),而短箭头则是D=x-1，最后的箭头ZG→Z则是增广映射，也

7、就是说对所有的系数求和。n阶循环群的≥1阶同调群呈现出ABAB的形式，也就是说所有奇数阶或偶数阶的结论都是相同的。对于一般情形，个人更推荐直接从定义计算，而对于平凡作用，我们有相对简单的结论：H_(2k-1)(G,A)=A/nA，H_(2k)=A[n]H^(2k-1)(G,A)=A[n]，H^(2k))=A/nA.对于自由Abel群的情形，计算要更加简单，结论是二阶与二阶以上的同调和上同调为零，一阶的同调（或上同调）等于零阶的上同调（或同调）。把他们组合起来，利用Abel群的结构定理与（上）同调的函子性质，

8、就可以轻松的计算一般Abel群的情形，因此还是相当给力的。3）同调为零的情况：利用Ext与Tor函子的基本性质，我们可以得到最初步的结论：当A是投射模（或平坦模）时，则H_n(G,A)=0.n≥1当B是内射模时，则H^n(G,B)=0,n≥1事实上，我们还可以进一步把此结论推广到A（或B）是相对投射模（或相对内射模）的情形，它是诱导模（或上诱导模）的直和加项，后者实际上是下面要提到的诱导模在H={1}的特例，可以