strongart数学笔记：dedekind整环中的素理想赋值研究

《strongart数学笔记：dedekind整环中的素理想赋值研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、Dedekind整环中的素理想赋值研究Dedekinddomain（简称DD）中任意真理想都是素理想的有限积，对其中的理想问题处理，使用素理想的p-adicvalue无疑是非常便捷的。下面我就从一个典型的小问题出发，仔细讨论一下其中的情况。问题：设I是DD中的一个非零理想，证明存在DD的另一个非零理想J，满足IJ是主理想。注：这个问题可以作为证明DD+UFD→PID中的一个引理，实际上令R是DD与UFD，由DD的素理想分解性质，只需证明R的任意非零素理想I都是主理想。如果上述问题结论成立，那么可得存在J与a

2、∈R，使得IJ=（a）.而在UFD中，a可分解成若干主素理想的积，这样I必为其中某个主素理想，由此证明了R中素理想必为主理想。解法1：分解I为有限个不同素理想的因子p1^r1…pn^rn，取各ai∈p1^r1…（pi^ripi^(ri+1)）…pn^rn，则a=Σai的各因子幂均不小于I，故可取R的非零素理想J，其各因子为（a）与I的差，使得IJ与a的各素理想因子相同，即IJ=（a）.解法2：考虑各素理想的p-adic赋值，只要a是各个值均大于I即可。对于局部的情形（DVR），我们完全可以元素a的赋值充分

3、大。现在则要考虑各素理想因子之间的配合关系，这恰好可以由Chineseremaindertheorem得到保证，于是便得到一个各素理想赋值均大于I的元素a，此后讨论同解法1.解法3：实际上只要取a∈I{0}即右（a）≤I，故存在非零素理想J，使得IJ=（a）。评论：这里解法1是最为朴实的；其中蕴含着p-adicvalue的思想；解法2则是最根本的，它把解法1中的思想明确化，直接用p-adicvalue进行讨论，并且通过Chineseremaindertheorem消化了具体的构造；而解法三无疑是最便捷的巧

4、解，其中用到了DD的基本性质：DD中I≤K，则存在非零素理想J，使得IJ=K，它已经把上述赋值的思想完全吸收了。我们继续研究解法2，可以这里元素a的构造具有相当大的任意性。我们能够构造这样元素a，使得对上述各p_i,它们的赋值与I均为相同，这样一来我们甚至可以得到I=（a），也就是说DD都是PID！这显然是错误的，比如Z[√-5]就不是PID，但却是DD！经过与国外学者的交流，我找到了问题的所在，原来I=（a)除了要求a的各p_i的赋值与I相同之外，还要求a其他素理想的赋值均为零！一般而言，DD中可能有无限

5、多个素理想（就连最简单的整数环Z也是如此），因此这里是不能使用Chineseremaindertheorem的。当然。通过这样的讨论我们还是有所收获的，假若这里的DD只有有限个素理想，甚至只有有限个不是主理想的素理想，那么它就一定是PID。实际上，DD中有一条很重要是性质被称为（1+1/2）-Noether，即DD中任何理想都可由两个元素生成，其中的一个元素还可以事先给定。其讨论中的关键在于说：设R是DD，则R的任何非零素理想I，R/I一定是主理想（*）。此时，我们只要考虑包含I，也就是说各因子小于I的素理

6、想，那些在I上零赋值的素理想依然只能是零赋值（实际上解法1中也隐含着这样的推理），因此有价值的素理想只能是有限个，这样按照上述讨论就能够得到此结论了。可见这里的I不管多小，只要不为零就是有意义的，这说明了DD与PID的差距只有那么微小的一点，我们不妨把（*）式称为（1+ε）-Noether，它能够导出（1+1/2）-Noether也是理所当然的啊！本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士

7、的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。