strongart数学科普：从度量拓扑到拓扑空间

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1、数学科普：从度量拓扑到拓扑空间在上一讲中我们介绍了距离空间的概念，先回顾一下，什么是距离空间呢？它可以表示为（X，d）。其中X是一个集合，这样的集合可以是任意的，因为我们可以定义离散距离。而d就是所谓的距离函数，其定义域是X×X，值域是[0，∞），因而是非负的，此外还具有唯一性、对称性和最小性。它们是从欧氏几何中距离的典型性质中抽象出来的，而一般的方法则可以概括为性质优先。在本讲中，我们要介绍拓扑空间的概念，正如距离可以公理化为抽象的距离空间一样，拓扑空间可以通过对开集的公理化而得到，或许可以称为是开集空间

2、。而对于具体的开集，我将直接在距离空间中加以定义，而不先在R^n中定义，因为一般的R^n并不比距离空间多看到多少的直观。当然，R×R或C的情形完全可以作为是一个直观的模型。可以毫不夸张地说，开集是理解拓扑的一张通行证，而它的原型则是开球（比如很多读者熟悉的开区间，就是一维的开球）。为了定义开集，先给出开球的概念，它可以参照R×R中的（不带边的）球体（即圆盘）来理解。定义设（X，d）是一距离空间，x∈X，r>0，称点集B（x,r）={y∈X且d(y,x)

3、X且d(y,x)≤r}是以x为中心，r为半径的闭球；S（x,r）={y∈X且d(y,x)=r}是以x为中心，r为半径的球面.显然，我们有B（x,r）=B（x,r）∪S（x,r）和B（x,r）∩S（x,r）=￠。注意：对闭球的通用的记法是加上划线，这里由于技术原因我改成了下划线。这里我要提醒读者注意的是（闭）球体与球面的区别，在R×R中，球体通常被称为圆盘，而球面则常被称为一个圈。但是，在R×R×R中，球体与球面通常都被称为球，这就是它们常常被混淆的原因。事实上，有限维球面总是比相应的球体要低一维，我更喜欢称

4、球面为球皮，相信这一不规范的称呼能够给出一个非常直观的理解。有余力的读者不妨再考虑一下无限维的情形：比如说，无限维的球体如何可能呢？下面我们就来定义开集的概念，先从内点开始。定义：设X是度量空间，G包含在X内，x∈X.如果存在以x为中心的开球B（x,δ）包含在G内，则称x是G的内点.若G的每一个点都是内点，就称G是X的开集.规定空集也是开集.这样的定义或许有点抽象，让我们来举几个例子。平凡地，度量空间X本身就是X中的开集。比如，开区间（0，1）就是R的一个开集，为什么呢（当然不是因为它们都有一个“开”字）？

5、让我们来按照定义验证一下，需要证明的是（0，1）中的任意一点x都是R的内点，即存在一个以x为中心的开区间（一维开球）（x-a,x+a）在（0，1）内。事实上，任取x∈（0，1）固定，x与0，1的距离总有一个最小值h，令a小于这样的最小值h即可，比如取a=min(

6、x

7、,

8、1-x

9、)/2。显然，这里的a与x的取值有关，当x接近于端点0或1时，a趋近于零。请注意，我们不能笼统的说（0，1）是开集，正如距离与背景空间相关一样，由距离衍生的概念开集也一样与背景空间相关。比如（0，1）就不是R×R的开集，因为在一维空

10、间的它没有能力包含任何的二维开球。同样的道理，包含在R^m（m

11、们来证明一个平凡的命题，思路可以通过与上面说明开区间（0，1）是R的开集类比得到。命题1：度量空间X中的任何开球都是X的开集.分析：设B=B（x,δ）是以x为中心的开球，对任意y∈B（x,δ），根据开集的定义要取适当的r>0，使得B（y,r）包含在B中。这里的r应该怎样选取呢？在一维的情形中，它取的是与边界点的距离，但那里只有两个边界点，因此取最小值就可以了。但在R×R中这样的点就有无限个，这里甚至根本不知道边界点有多少，好在我们有处理距离的三角不等式。证明：设B=B（x,δ）是以x为中心的开球，对任意y∈

12、B（x,δ）固定，任取z∈S（x,δ），有d（x,z）=δ，故由三角不等式d(y,z)≥d(x,z)-d(x,y)=δ-d(x,y)（与z无关）取r=[δ-d(x,y)]/2即可。事实上，对任意点t∈B（y,r），都有d(x,t)≤d(x,y)+d(y,t)≤d(x,y)+r=d(x,y)+[δ-d(x,y)]/2=[δ+d(x,y)]/2<δ这就证明了t∈B（x,δ），从而B包含B（y,r）。■感到困难的读者不