拓扑空间可度量化的充要条件

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1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)No．4拓扑空间可度量化的充要条件陈娟，高随祥(中国科学院大学数学科学学院，北京101408)摘要：本文研究了拓扑空间的可度量化的充要条件．利用可数开覆盖的性质和度量化的遗传性及定义，获得了拓扑空间可度量化的两个充要条件结果，推广了构造可度量化的拓扑空间和判断拓扑空间是度量空间的依据．关键词：拓扑空间；度量空间；可度量化；充要条件MR(20101主题分类号：54A05中图分类号：O189．11文献标识码：A文章编号：0255—7797(2015)04．0952—051引言由于度量空间具有良好的性质，研究拓扑

2、空间是否可度量化的判定条件具有很重要的意义．关于拓扑空间可度量化的条件，在一些拓扑学的重要著作中都作为重要章节进行介绍【l一7l，其中两个最著名的充要条件Nagata-Smirnov度量化定理[]和Alex—Urysohn度量化定理【3】．这两个重要定理均是从拓扑空间可度量化的定义出发，通过分析拓扑空间和度量空间的性质而得出的．后续对拓扑空间可度量化的研究大都是在这两个定理的基础上给出的，例如文献『31中的martin定理和Bing度量化定理．本文主要研究拓扑空间的可度量化问题，获得拓扑空间可度量化的两个充分必要条件．首先基于是Nagata-Smirnov度量化定理

3、和Alex-Urysohn度量化定理，利用可数开覆盖的性质和度量化的遗传性，获得可度量化的一个充要条件；其次从拓扑空间可度量化的定义出发，得到了拓扑空间可度量化的另一个充要条件．2预备知识为了方便后面结论的叙述和证明，我们需要给出一些相关的概念和定义．度量空间和拓扑空间是本文的研究对象，其定义如下：定义2．1[l设是一个集合，P：X×X—R，如果对于任何，Y，z∈X，有(1)(正定性)p(x，Y)0，并且p(x，Y)=0当且仅当X=；(2)(对称性)p(x，Y)=p(y，)；(3)(三角不等式)p(x，)p(x，Y)+p(z，)，则称P是集合X的一个度量，称(X，P

4、)是一个度量空间．定义2．2[11设(X，P)是一个度量空间，∈X对于任意给定的实数E>0，集合{∈xlp(~，Y)<】_称为一个以z为中心，以E为半径的球形领域，简称的一个球形领域，收稿日期：2013—11．14接收日期：2014—05—19基金项目：国家重点基础研究发展计划(973)项目基金资助(2011CB706901)；国家自然科学基金项目基金资助(11331012)．作者简介：陈娟(1988一)，女，甘肃金昌，硕士，主要研究方向：通信网络优化．陈娟等：拓扑空间可度量化的充要条件953记作B(x，E)．设是度量空间的一个子集，如果A中的每一个点都有一个球形领

5、域包含于，则称是度量空间X中的一个开集．定义2．3【]设是一个集合，是的一个子集族．如果满足如下条件：(1)X，∈；(2)若，B∈，则AnB∈；(3)若c，则【JA∈，AL则称是的一个拓扑，而称偶对(，)是一个拓扑空间，的每个元素都叫做拓扑空间(，)的一个开集．对任意集合YEX，称拓扑空间(ly)是(，)的一个拓扑子空间，其中ly=yNA[A∈．本文主要探讨拓扑空间可度量化的条件，可度量化的概念如下：定义2．4[】设(X，P)是一个度量空间，令为由X的所有开集构成的集族，则称是由度量P诱导出来的拓扑．设(x，)是一个拓扑空间，如果存在的一个度量P使得拓扑F即是由度量

6、诱导出来的拓扑，则称(，)是一个可度量化空间．基和局部有限族是拓扑空间的重要的子集，也是本文两个结论的证明中使用的重要工具．定义2．5[】设(x，)是一个拓扑空问，是的一子族．如果的每一个元素是中某些元素的并，即对于每一个U∈，存在AcA使得U：【J，则称是拓扑的A邑t1一个基，或称是拓扑空间f，)的一个基．定义2．6【]设(，)是一个拓扑空间，X∈X．如果是的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈厂使得x∈VCU，则称是点的一个领域．点X的所有领域构成的子集族称为点X的领域系．记为X的领域系，的子族如果满足条件：对每一个U∈，存在V∈使得c，则称是点的领域基．定义2

7、．7[】若拓扑空间(，)存在一个可数基，则称(，)具有第二可数性．定义2．8[]设是一个拓扑空间，如果中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开领域，它们互不相交，则称拓扑空间是一个正则空间；如果中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开领域不包含另一个点，则称拓扑空间是一个空间．定义2．9【。】X的一个集族z／，称为局部有限族，如果对于任意X∈X，都存在X的一个领域U(x)使U(x)与中有限个元素交集非空；进一步若集族是的基，则称为x的一个局部有限基．若集族是的可数个局部有限族的并，则称集族为的一个局部有限族；进一步若是的一个基，则称是x的一个局部