strongart数学笔记:算子kk理论简明小结

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1、算子KK-理论简明小结最近学了一点算子KK-理论,发现这个东西技术细节还是比较麻烦的,下面我就来整理一个大致思路,对KK-理论的概貌做一个大致的刻画,希望对能够来到这里的数学天才有所帮助。对于KK-群有各种不同版本的定义,但最后的基本性质却是相似的,因此我们先来讨论最一般意义上的KK(A,B).让我们先看基本约定,在KK(A,B)中,一般要求A与B是带σ-单位的分次C*-代数,这一点可以保证它强同伦与同伦关系是一致的。此外,我们假设A是可分的,这主要是使得对应Kasparov模的等价关系一致于同伦关系,还

2、假设B是稳定的,这可以带来KK-群的稳定性,在KK-理论中紧算子代数是可以被忽略的。在这样的约定下,我们来看KK-群的若干基本性质。1)同伦不变性:同伦关系导出相同的KK-群2)稳定性:与紧算子代数K或有限矩阵代数M_n的张量积保持KK-群不变3)Abel群性质:它构成Abel群。这里的加法是通过一个特殊的降阶内自同构Θ来定义为[a]+[b]=Θdiag{a,b},而Θ:Mn(B)→B,Θ:((b_ij))=Σw_ib_ijw_j*,其中w_i*w_j=0,若i≠j;Σw_iw_i*=1.(实际上这类似C

3、untz代数的结构,在KK-群的加法定义中只用到n=2的情形)4)乘积性质:即有双线性映射:KK(A,B)×KK(B,C)→KK(A,C),它满足下面性质:4.1)单位律:1_A·x=x=x·1_B,对任何x∈KK(A,B)4.2)分配律:x·(y+z)=x·y+x·z,对任何x∈KK(A,B),y、z∈KK(B,C)4.3)结合律:(x·y)·z=x·(y·z),对任何x∈KK(A,B),y∈KK(B,C),z∈KK(C,D)5)函子性质:5.1)若f:A1→A是态射,则f^*(x)·y=f^*(x·y

4、),对任何x∈KK(A,B),y∈KK(B,C)5.2)若g:C→C1是态射,则x·g_*(y)=g_*(x·y),对任何x∈KK(A,B),y∈KK(B,C)5.3)若h:B1→B2是态射,则h_*(x)·y=x·h^*(y),对任何x∈KK(A,B1),y∈KK(B2,C)6)与K-群的联系:KK(C,B)=K_0(B)在KK-群的基础上还可以定义KK^1群为KK^1(A,B)=KK(A,B_(1))其中B_(1)是带奇分次的B⊙B,这样我们还有性质:6’)KK^1(C,B)=K_1(B)7)扩张性:

5、若A,B平凡分次,则KK^1(A,B)=Ext(A,B)^(-1);若A还是核C*-代数,则KK^1(A,B)=Ext(A,B).8)Bott周期:KK(A,B)=KK(SA,SB)=KK^1(SA,B)=KK^1(A,SB).9)六项正合列(见[2]19.5.7)10)P-V正合列(见[2]19.6.1)下面简述KK-群的几种不同定义,一般我们都是先从Kasparov模来引入KK-群的。设A与B是分次C*-代数,先定义KasparovA-B模为满足若干条件的三元组(E,Φ,F),其中E是可数生成的分次H

6、ilbertB-模,Φ:A→B(E)是*同态(可视为A在E上的作用)且F∈B(E)是一次元素,满足条件:对任何a∈Ai)Φ·β_A=β_E·Φ(β表示对应C*-代数的分次)ii)[F,Φ(a)]∈K(E)iii)(F^2-1)Φ(a)∈K(E)iv)(F*-F)Φ(a)∈K(E)这样的KasparovA-B模的集合记为E(A,B);然后再定义退化的Kasparov模为满足条件:[F,Φ(a)]=(F^2-1)Φ(a)=(F*-F)Φ(a)=0,其集合记为D(A,B),那么在Kasparov意义上的KK群就

7、定义为对应的商:KK(A,B)=E(A,B)/D(A,B)此外,在Kasparov模上还可以定义同伦关系,做商之后就可以得到另一个意义上的KK-群,而第一项A可分时,而两个KK-群是一致的。利用Kasparov模来定义KK-群,可以方便我们对KK-群进行操作,因为我们可以在Kasparov模上定义拉回推出、内外张量积等常规概念,然后再推广到KK-群上。特别是这个KK-群的乘积,可以先在Kasparov模上直接构造对应的Kasparov积,然后再传递到其他KK-群上。这样的过程尽管有点繁琐,但至少还是有迹可

8、循的,大概正是这样的原因,当代的文献中对KK-理论的介绍一般都是从Kasparov模开始的。对于一般的(非分次)C*-代数A与B,我们可以定义KK_h(A,B)-环为同态二元组(Φ+,Φ-),Φ+、Φ-∈Hom(A,M(K⊙B)),满足对任何a∈A,有Φ+(a)-Φ-(a)∈K⊙B.在KK_h(A,B)-环的集合F(A,B)上可以定义同伦关系~,定义对应的KK_h群为对应的商:KK_h(A,B)=F(A,B)/~可以证明,这样

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