strongart数学笔记：微分几何部分的学习小结

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1、微分几何部分的学习小结最近我在网上看了梁灿彬教授的微分几何与广义相对论视频讲座，感觉不错就顺便买了本教材，前几天正好把前面的微分几何学完了。尽管他主要是对物理系的学生讲的，像单位分解之类的大定理都没有证明，但很多地方还是颇有心得，下面我就简单小结一下。书中比较注重微分几何理论与经典分析理论之间联系，即作者所说的“天地连通”。先是对dx做了微分形式的解释，避免了很多无聊的哲学争论，然后用微分形式的积分定义流形上函数的积分，这就对经典积分做了全新的解释，还把经典的积分公式推广为Stokestheory与Gausslaw，特别对沿边界积分做了一个沿切向分量的

2、细致解释。最让人欣慰还是用微分几何的语言重述R^3中的场论，如何借助对偶与*算子解释了R^3中为什么没有出现微分形式，比如矢量的叉积其实就是先作用Hodge*再作用外积：×=∧·*，最后用外微分做了刻画grad、curl与div，借助于Poincarelemma可以轻松的证明了“无旋场必可表梯度”、“无散场必可表旋度”。既然讲述微分几何，对张量语言想必是非常关注的。作者先给出了一个“张量面面观”，清楚的解释了张量作为函数、作为向量空间之间的映射与对偶空间之间的映射这三种观点的转化与联系，避免了只把张量当成满足相应关系的一堆数初级见解。在此观点的影响下，

3、作者特别讨论的张量的抽象指标记法，借助此记法给出了几个常用运算关系，这对后面的计算化简是非常有帮助的。作者特别讨论了Christoffelsymbol是不是张量的问题。很多书中是直接通过坐标基协变导数的展开系数来引入Christoffelsymbol，然后发现它不满足张量变换律，就说它不是一个张量，有些书为了防止惯性思维还要特强调一下。但作者却是先讨论了协变导数差的局部不变性，给出一个一般的张量C，然后把其中一个协变导数取为普通导数，得到的Christoffelsymbol也就自然成为张量了。这里说它是张量是先取定一个坐标系，然后它在此坐标系下的分量表

4、现对其他坐标系满足张量法则，如果没有取定坐标系笼统的看，它自然是不成为张量的。因此我们在说Christoffelsymbol是张量的时候，最好要加一句它是依赖于坐标系的张量。顺便谈一下关于坐标系的问题，书中着重讨论了坐标系主动观点与被动观点的一致性，也就是说点之间的主动变换可以通过拉回等价于坐标系之间的变换。在Lorenz坐标系中，所谓的伪转动（boost）本质上就是狭义相对论中Lorenz变换，其欧式空间的类比则是转动对应着正交变换。既然是为相对论准备的微分几何，那么似乎更侧重于一般的pseudo-Riemannspace，其中有一些在普通的Riem

5、anngeometry见不到的怪异性质。一般Riemannmanifold中的度量到了pseudo-Riemannmanifold中称为度规，它可正可负也可以对非零向量取零，由此得到相应的类空、类时与类光向量。对于某个空间的超曲面而言，其类光向量（nullvector）作为法向量是可以位于切平面之内的，而类光超曲面上是没有诱导度规的。最大的挑战还在于测地线的最短性，这里主要不是指Riemanngeometry中因为越过共轭点而造成对整体最短性的破坏，而是由更本质的线元可负导致结果。事实上，对于类时测地线而言，它恰恰就是（局部）最长的，利用这一点可以轻松

6、的解释相对论中的双生子详谬。有些人可能会觉得微分几何部分太简略了，但视频中讲到这只是后面讲相对论中最必要的，其他的部分可以在讲到相关理论的时候随时补充。目前我刚看完尺缩钟慢、双生子效应，用几何语言能够轻松的搞定，感觉还是非常令人兴奋的，等以后有了心得再文章哈~本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自

7、己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。