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1、ISSN1009-8984长春工程学院学报(自然科学版)2006年第7卷第4期26/30CN22-1323/NJ.ChangchunInst.Tech.(Nat.Sci.Edi.),2006,Vol.7,No.475-76关于函数可导的一个充要条件高来斌,王田娥(吉林农业大学数学系,长春130118)[n]n[n]摘要:结合数学分析课程的一个习题,给出了连续
2、g(h)
3、L
4、h
5、,于是limg(h)=0,又n函数可导的一个充分必要条件,并得到了2个有趣limf(h)=f(0)=0,所以limSn(h)
6、=f(h)+limh0nn的推论,从而对连续函数的导数有了新的认识。[n]f(g(h))=f(h)。因此可把f(h)写成级数形式关键词:连续;可导;函数[n-1][n]中图分类号:O171文献标识码:Af(h)=[f(g(h))f(g(h))]。n=1文章编号:1009-8984(2006)04-0075-02f(h)-fg(h)由lim=0可知,>0,h0h-g(h)在讲授数学分析课程导数一章的时候,我们会>0,当0<
7、h
8、<,有遇到这样的问题:设函数f(x)在点x0的某个邻域f(h)-fg(h)
9、
10、<。h-g(h)f(x0+2h)-f(x
11、0+h)内有定义,问极限lim存在又因为
12、g[k](h)
13、L
14、g[k-1](h)
15、<
16、h0x[k-1][k]是否为函数f(x)在点x0处可导的一个充分条件,答g(h)
17、,所以
18、g(h)
19、<。于是[n-1][n]案应该是否定的。因为对于任意一个在点x0处可导f(g(h))-f(g(h))
20、
21、h的函数f(x),只要改动函数值f(x0)(即破坏其连续[n-1][n]g(h)-g(g(h)性),便会得到一个反例。于是,作者猜想得到定理=
22、
23、
24、h1,为此先证明如下的[n-1][n]f(g(h))-f(g(h))引理1设函数f和g在点0的某邻域U(0)内[n-1][n]
25、g(h
26、)-g(h)有定义,对x,yU(0),有
27、g(x)-g(y)
28、Lg[n-1](h)-g[n](h)=
29、
30、
31、
32、x-y
33、,(0L<1),g(0)=0,limf(x)=f(0)=hh0[n-1][n-1]f(g(h))-fg(g(h))0,则f(0)=0的充分必要条件是lhim0[n-1][n-1]
34、35、
36、,n=1,2,。h[0]证函数g的n次复合ggg记为g,从而[0][0]恒等函数记为g,即g(x)=x。由于x,,y[n-1][n]f(h)f(
37、g(h))-f(g(h))U(0),有
38、g(x)-g(y)
39、L
40、x-y
41、,g(0)=0,
42、h
43、
44、h
45、46、
47、L,
48、g(h)-g(h)x
49、
50、[n-1][n]n=1hg(x)-gn-1x-g(x)n-1x
51、L
52、x
53、L(1+n-11+LL(1+L)=n=11-LL)。故f(0)=0。nk-1充分性。记Sn(h)=[f(g(h))-必要性。由
54、g(h)
55、L
56、h
57、,则k=1[k][n]
58、h-g(h)
59、
60、
61、h
62、-
63、g(h)
64、
65、(1-L)
66、h
67、。f(g(h))]=f(h)+f(g(h))。因为因为f
68、(0)=0,所以对>0,>0,当0<
69、h
70、<,有收稿日期:2006-11-01作者简介:高来斌(1976,8-),女(汉),内蒙鄂伦春旗,副教授f(h)
71、
72、<,主要研究应用数学。h76长春工程学院学报(自然科学版)2006,7(4)而
73、g(h)
74、<
75、h
76、<,且f(0)=0,所以
77、ff(x0+2h)-f(x0+h)=f(),=(x0+g(h)
78、
79、g(h)
80、L
81、h
82、。于是hf(h)-fg(h)
83、f(h)
84、-
85、fg(h)
86、h)+h,0<<1。
87、
88、h-g(h)(1-L)
89、h
90、又因为limf(x)=A,所以xx
91、h
92、+L
93、h
94、1+L0
95、<<。(1-L)
96、h
97、1-Lf(x0+2h)-f(h)lim=limf()=A。证毕h0hh0x定理1设g在U(0)内有定义,x,y令g(x)=,于是由定理1可知f(x0)=A。2U(0),有
98、g(x)-g(x)
99、L
100、x-y
101、,(0L<证毕1),g(0)=0,函数f在U(x0)内有定义,limf(x)=xx下面给出推论1的一个应用。判断函数0f(x0),则函数f在点x0处可导的充分必要条件是极31xsin,x0f(x)=xf(x0+h)-f(x0+g(h))限lim存在。届时,该极0,
