strongart数学笔记：hartshorne代数几何概型部分学习指南

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1、Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实

2、际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringedspace）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。给定一个交换环R，其局部环层空间就

3、是取X=SpecR，其环层由交换环R的素谱SpecR上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(SpecR,O_SpecR)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面

4、我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。来自于代数的概念有：概型（X，O_X）是既约的（或整的），若对X的任何开集U，O_X（U）是既约环（或整环）；来自于拓扑的概念有：概型（X，O_X）是不可约的，若X是不可约的。我们有概型是整的iff它是约化的且不可约的。这个命题可以直观的理解为：无零因子iff无aa=0型因子且无ab=0型因子。拓扑空间是Noether的，若它满足闭集的降链条件，它使得Noether概型只有有限多个不可约分支。概型（X，O_X）是Noether的，若它由有限个仿射开集U_i=SpecA_i组成的开覆盖，其中各A_i是Noether环。仿射概

5、型X=SpecR是Noether的iffR是Noether的，这正好是Noether概型的降链条件与Noether环的升链条件之间的转化。一般情况下，Noether概型的底拓扑空间是Noether的，但反之不然，非Noether环也可能有Noether的仿射概型。典型的例子是R=k[x_1,x_2,…]/((x_1)^2,(x_2)^2,…）的仿射概型只有一点极大理想（x_1,x_2,…），但它却不是Noether环，这里的非Noether性是通过根基引入的。此外，在赋值维数＞1的赋值环都不是Noether的，但由于赋值环的谱是全序的，它所对应的仿射概型一定是Noether的。约定：下文

6、中的概型若无特殊声明，均为Noether概型。拓扑空间X的Krull维数指使得X的不同不可约闭子集链Z_0≤Z_1≤…≤Z_n的最大的n.概型（X，O_X）的维数就是指其底拓扑空间的维数。对于仿射概型而言，它是维数就是对应环的Krull维数。遗憾的是，概型维数的良好性质在一般只在域上的有限整概型中得到保持，超过这个范围就会出现一些奇怪的现象。比如令R是剩余域为k的DVR，其极大理想m=(u)，那么在概型X=SpecR[t]内就存在开集U=SpecR[t]_(u)，使得2=dimX≠dimU=1，这里的维数损失源于交换环的局部化。从概型的拓扑空间，我们可以得到开子概型与闭子概型的概念。开子

7、概型相对比较简单，就是把概型的拓扑空间与结构层限制在开集上。而概型Y是概型X的闭子概型，要求拓扑空间Y是X的闭子集，同时自然包含映射i：Y→X在X上的层诱导映射i#：O_X→i*O_Y是满的。若f：Y→X诱导出Y与X上闭子概型的同构，则f称为闭浸没。对X=Spec（R），I是R的理想，我们知道Spec(R/I)与包含I的素理想集V（I）一一对应，它可以由商映射R→R/I诱导，同时使得Spec(R/I)是Spec(R)的闭子概型。比开