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时间：2017-11-12
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1、欧拉－拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrangeequation)为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法。第一方程设，以及在中连续，并设泛函。若使得泛函J(y)取得局部平稳值，则对于所有的，。推广到多维的情况，记，，。若使得泛函取得局部平稳值，则在区间内对于所有的，皆有。第二方程设，及在中连续，若使得泛函取得局部平稳值，则存在一常数C，使得。例子设及为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设，并且；这里，为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为。现设，，取偏微分，则，，fx=fy=0。若y使得L
2、(y)取得局部平稳值，则y符合第一方程：，。因此，，。随t积分，，；这里，为常数。重新编排，，。再积分，x(t)=rt+r'，y(t)=st+s'。代入初始条件，；即可解得，是连接两点的一条线段。另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得L(y)取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。
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