矩阵及其运算好书

《矩阵及其运算好书》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章矩阵及其运算3.1基本要求、重点难点基本要求：1．1．掌握矩阵的定义.2．2．掌握矩阵的运算法则.3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法.4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法.5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵.6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性方程组的解.难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2基本内容 3.2.13.2.1           重要定义定义3.1由个数组成的

2、行列的数表成为一个行列矩阵，记为简记为，或,,注意行列式与矩阵的区别：（1）（1）   行列式是一个数，而矩阵是一个数表.（2）（2）   行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相同.（3）（3）   一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素.（4）（4）   两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.（5）（5）   当时，有意义，而无意义.的矩阵叫做阶方阵或阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在运算中可看做一个数.对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上

3、（下）三角矩阵，既是上三角阵，又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的阶矩阵叫阶单位矩阵，常记为（或），简记为（或），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为，或简记为.行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵.设有矩阵=，则称为的负矩阵.若是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针的行列式，记为或.将矩阵的行列式互换所得到的矩阵为的转置矩阵，记为或.若方阵满足，则称为对称矩阵，若方阵满足，则称为反对称矩阵.若矩阵的元素

4、都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩阵为复矩阵，若=是复矩阵，则称矩阵（其中为的共轭矩阵，记为.定义3.2对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，则称方阵可逆，称为的逆矩阵，记做.对于方阵，设的代数余子式为，则矩阵称为的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置.定义3.3设有矩阵，如果：（1）（1）               在中有一个阶子式不为零.（2）（2）                                                                                                       

5、                                                                                                                    中任意阶子式（如果有的话）全为零，则称是矩阵的一个最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记为.定义3.4初等变换与初等方阵：（1）（1）     初等变换：变换矩阵的某两行（记为）；把非零数乘以矩阵的某行的所有元素（记为）；把矩阵的第行的倍加到第行上（记为）.以上为矩阵的三种类型的初等行变换，同样可以定义矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换、初等列变换统称

6、为矩阵的初等变换.矩阵的初等行（列）变换皆可逆，且为同种类型的初等变换.例如：变换的逆是其自身，变换的逆变换为变换的逆变换为.初等变换的性质：若矩阵经有限次初等行（列）变换为，则的行（列）向量组与的行（列）向量组等价.若矩阵经有限次初等行（列）变换为，则的任意个列（行）向量与中对应的个列（行）向量有相同的线形相关性.（2）（2）   初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初等矩阵，初等矩阵也叫初等方阵.初等方阵共分三种，它们是：，，.它们与单位矩阵的关系是：，或，，或，或容易搞错的是第三组关系式，读者仔细些.初等矩阵皆可逆，且=，=，=初等方阵的性质：若为可逆方阵

7、，则存在有限个初等方阵，使.矩阵等价的充要条件是存在阶可逆方阵和阶可逆方阵，使.3.2.13.2.2           重要定理定理3.1对矩阵施行一次初等行（列）变换相对于左（右）乘一个同类型的初等矩阵.例如：若，则；若，则=；若，则=；等等.定理3.2方阵可逆的充分必要条件是：（1），且.（2）可以表示成一些初等矩阵的乘积.若方阵可逆，则的逆阵唯一，可逆阵也叫做非奇异矩阵或称为满秩矩阵，否则称为奇异矩阵或降秩矩阵，非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异的，奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异的.阶方阵的秩的