自动控制原理（北航）电子教案 第二章

《自动控制原理（北航）电子教案 第二章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章控制系统的数学模型2.1引言控制系统是由控制对象、执行机构、放大器、检测（测量）装置和控制器等组成。数学模型：在分析和设计系统时，了解这些砖砖瓦瓦的工作原理及运动过程是很重要的，更重要的是深入研究它们的动态特性，正确列写出它们的数学表达式。我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。动态特性控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点

2、：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过

3、渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。建立控制系统数学模型的方法有分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律建立系统数学模型的几个步骤：•建立物理模型。•列写原始方程。利用

4、适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）•选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。数学模型的逼近数学模型有多种表现形式30一、时1微分方程－输入量和状态变量都是连续的。集总参数偏微分方程，分布参数2差分方程－离散系统二、复域1传递函数2结构图－信号流图三、频率－频率特性，波特图连续系统－微分方程1线性微分方程线性系统时2常系数线性微分方程线性定常系统线性时

5、变系统3偏微分方程－分布参数系统域4非线性微分方程离散系统－差分方程2.2控制系统的时域数学模型2.2.1线性元件的微分方程例2-1图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。解：设回路电流i1、i2根据克希霍夫定律，列写方程①②③④⑤由④、⑤得由②导出30将i1、i2代入①、③，则得这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。例2-2试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。解：对机械网

6、络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式对电气网络(b)，列写电路方程如下：①②③④利用②、③、④求出代入①将①两边微分得力-电压相似机械电气B1阻尼R1电阻B2R2K1弹性系数K2弹性系数30可见，机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统......因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。例3图2-3所示为电枢控

7、制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。·电枢回路电压平衡

8、方程：①Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即Ea=Ceωm（t）Ce－反电势系数（v/rad/s）②·电磁转距方程：Mm(t)=Cmia(t)③Cm-电动机转距系数（N·M/A）是电动机转距系数。Mm(t)-是由电枢电流产生的电磁转距（N·M）·电动机轴上的转距平衡方程：④Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）kg·m·fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘