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1、实验二一元函数微分学2.1 实验目的通过对Mathematica软件中求函数的导数、微分等命令的使用，进一步加深对导数、微分等概念的理解；初步掌握：在数学理论的指导下，如何利用Mathematica软件进行实际应用：函数极值和最值的求法。2.2 实验内容一、导数和微分的求法例1求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）[实验]（1）输入：得结果：（2）输入：得结果：再输入：Simplify[%]得：27（3）输入：f[x_]:=Log[Sin[x]];D[f[x],x]得结果：Cot[x]（4）输入：得结果：（5）输入：得结果：（6）输入：得结果：说明：D[f,
2、x]givesthepartialderivative.当f是x的一元函数时，D[f,x]给出f（x）的一阶导数。Simplify[expr]performsasequenceofalgebraictransformationsonexpr,andreturnsthesimplestformitfinds.例2求下列函数的高阶导数：（1）的4阶导数；（2）的20阶导数。[实验]（1）输入：f[x_]:=Log[1+x];D[f[x],{x,4}]得结果：（2）输入：得结果：再输入：Simplify[%]得：说明：D[f,x,n]givesthemultiplederivativ
3、e.当f是x的一元函数时，D[f,x]给出f（x）的n阶导数。27例3求下列函数的微分：（1）；（2）。[实验]（1）输入：得结果：（2）输入：得结果：再输入：Simplify[%]得：说明：Dt[f]givesthetotaldifferential.一、导数概念的理解及应用例4设函数分别作出f(x)、f’(x)、f”(x)、g(x)在h=i*0.1(i=10,…,1)时的图形。再从图形来研究f’(x)和g(x)之间的关系及f(x)的性态。[实验]（1）输入：Plot[f[x],{x,-2,2}]得f(x)的图形：（2）再输入：Plot[f'[x],{x,-2,2}]27得f
4、’(x)的图形：（3）再输入：Plot[f''[x],{x,-2,2}]得f”(x)的图形：（4）再输入：Do[{h=i*0.1;Plot[{f'[x],g[x]},{x,-2,2},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01]},{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]}}]},{i,10,1,-1}]得f’(x)和g(x)的十幅图形：272727双击其中任一幅图形，我们可以看到g(x)随h→0而趋向于f’(x)的情形，从而知：f’(x)和g(x)之间的关系为（5）下面我们从f(x)、f’(x)、f”(x)的图
5、形来研究f(x)的性态从f’(x)的图形可看出f’(x)有一个零点为x=1,为求f’(x)的另一个零点，可输入：Solve[f'[x]0,x]得结果：即知f’(x)的两个零点为-1/3和1。我们也可以通过逐步放大f’(x)的图形，来求f’(x)的另一个零点-1/3：输入Plot[f'[x],{x,-0.4,-0.2}]得再输入Plot[f'[x],{x,-0.34,-0.33}]得27再输入Plot[f'[x],{x,-0.3334,-0.3333}]得如此继续进行下去，便可越来越精确地逼近f’(x)的另一个零点-1/3。同理，我们可求出f”(x)的唯一零点：1/3。当然，我们
6、也可输入：FindRoot[f''[x]0,{x,0}]，得结果：{x®0.333333}，从而求出f”(x)的零点。于是，从f(x)、f’(x)、f”(x)的图形，根据相应的数学理论，我们便可得出f(x)的性态：在区间，f(x)凸上升；f(x)在x=-1/3处取得极大值；在区间，f(x)凸下降；为曲线的拐点；在区间，f(x)凹下降；f(x)在x=1处取得极小值；在区间，f(x)凹上升。说明：Do[expr,i,imin,imax,di]称为循环语句，它以di为步长，i从初值imin变化到终值imax，每次循环都执行循环体expr一次。27例5验证拉格朗日中值定理对函数在区间[
7、0，1]上的正确性。[实验]输入：得结果：由上可知：满足拉格朗日中值定理的有两个：和说明：Solve[eqns,vars]attemptstosolveanequationorsetofequationsforthevariablesvars.三、函数极值和最值的求法例6求函数的极值。[实验]输入：得结果：{{x®1}}27从以上输出，我们可以看出：x=1是函数f(x)的唯一驻点，而x=-1为函数f(x)的唯一不可导点。在区间内，f’(x)>0；在区间内，f’(x)<0；故不可导点x=-1为
