高考数学人教a版（理）一轮习【配套word版文档】：第八篇第8讲立体几何中的向量方法（二）

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1、第8讲立体几何中的向量方法（二）A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)．A．30°B．60°C．120°D．150°解析　设l与α所成的角为θ，则sinθ＝

2、cos〈m，n〉

3、＝，∴θ＝30°.答案　A2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为(　　)．A．30°B．120°C．60°D

4、．90°解析　如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件，得G，B，E，F，＝，＝cos〈，〉＝＝0，则⊥.答案　D3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)．A.B.C.D.解析　建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案　B4．(2013·杭州月考)在正方体AB

5、CD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)．A.B.C.D.解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝，答案　B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．解析　cos〈n，a〉＝＝＝

6、－.又l与α所成角记为θ，即sinθ＝

7、cos〈n，a〉

8、＝.答案　.6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．解析　建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成角为60°.答案　60°三、解答题(共25分)7．(12

9、分)如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距离；(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．解　如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．(1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)，∴

10、cos〈，〉

11、＝＝，∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.(2)设平面

12、ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，则∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)，∴∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)．∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)，∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为

13、cos〈n，〉

14、＝＝8．(13分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角P－BD－A的大小．(1)证明　如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0

15、,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，＝(－2，2,0)．∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.(2)解　设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)，∴解得令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.∴二面角P－BD－A的大小为60°.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分

16、，共10分)1．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为(　　)．A.　　　B.　　　C.　　　D.解析　二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋.而2＝2＋2＋2－2

17、

18、·

19、

20、·cos〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所