高中数学奥赛辅导

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1、数列与递进知识、方法、技能数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1,a2,…,an,…通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.对于数列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和，则有I．等差数列与等比数列1．等差数列（1）定义：（2）通项公式：an=a1+(

2、n－1)d.（3）前n项和公式：（4）等差中项：（5）任意两项：an=am+(n－m)d.（6）性质：①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数；③设{an}是等差数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;④设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…,Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差数列；⑤设Sn是等差数列{an}的前n项和，则是等差数列；⑥设{an}是等差

3、数列，则{λan+b}(λ,b是常数)是等差数列；⑦设{an}与{bn}是等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常数）也是等差数列；7⑧设{an}与{bn}是等差数列，且bn∈N*，则{abn}也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；⑨设{an}是等差数列，则{}（c>0,c≠1）是等比数列.2．等比数列（1）定义：（2）通项公式：an=a1qn－1.（3）前n项和公式：（4）等比中项：（5）任意两项：an=amqn－m.（6）无穷递缩等比数列各项和公式：S=（7）性质：①设{an}是等比数列，如果m、n、p、q

4、∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；②设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…，Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、n∈N*)仍为等比数列；③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数）、{}（m∈Z*）仍成等比数列；④设{an}与{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列；⑤设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，bn∈Z*，则{abn}是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}(c>0,c≠1)是等差数

5、列.赛题精讲例1设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1,2,…)，数列{bn}满足b1=3,bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求数列{bn}的前n项之和.（1996年全国数学联赛二试题1）【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn.由ak=bk+1－bk,知求ak即可，利用ak=Sk－Sk－1(k=2,3,4,…)可求出ak.【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1,又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n－1.7由

6、ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得a1=b2－b1,a2=b3－b2,a3=b4－b3,…,an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an.即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以数列{bn}的前n项和为Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.【评述】求数列的前n项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.例2求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.【思

7、路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°－d,60°,60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac,∠B=60°.【方法1】由余弦定理，得整理得(a－c)2=0因此a=c.故△ABC为正三角形.【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q4－2q2+1

8、=0,解得q=1,q=－1（舍去）所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.【方法3】因为b2=ac,由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinA·2R