利用轴对称求最值

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1、利用轴对称求最值轴对称知识在近来的中考题中,经常出现,笔者浏览最近几年各地的中考试题,发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质,还考察了利用轴对称知识解决最值问题,这类问题在各地中考试题中,屡见不鲜,如何利用轴对称的性质解决最值问题呢?根据本人多年教学工作的一些体会。概括一些常见的题型。一、基础知识BA如图直线l同侧有两点A、B,在直线l上找点P,使得PA+PB最短,并简要说明理由。解:作点关于直线l的对称点A′,连A′B交直线l于点P,则点P即为所求,此时PA+PB=PA′+PB=A′B。PLLLA1二、典型例题:A组(1)以菱形为载体的最短距离问题:如图所示,菱形ABCD中,∠BA

2、D=60°,AB=4,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PM+PB的最小值是_________。解:∵菱形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。∴点B关于直线AC的对称点为点D,连接DM交AC于点P,则PM+PB的最小值即为线段DM,此时DM=∴PM+PM的最小值为.DCPMBA(2)以矩形为载体求最短距离问题在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为为边CD中点。P为边BC上的任一点,求PA+EP的最小值。解:作点A关于BC的对称点A′,连A′E交BC于点P,则点P为所求,此时PA+PE的最小值即为A′E,过点E,作EF⊥AB,A′E==5∴PA+PE的最小值为5。DAEFBPC

3、A1(3)以正方形为载体的最短距离问题:如图所示,正方形ABCD的边长为2,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小,则这个最小值为_________.解:∵正方形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。∴点B关于点D关于AC对称∵BE即为PD+PE的最小值∴PD+PE的最小值为2DAPEBC(4)以圆形为载体的最短距离问题:如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠ABC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值。解:延长AO交⊙O于点A1,则点A关于直线OA的对称点为A1,连A1C交OB于点P,则PA+PC的最小值为A1C,

4、连AC,RT△AA1C中,COS300=A1C=4=,PA+PC的最小值是BCAPOA1

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