利用轴对称求最值

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1、利用轴对称求最值轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最值问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最值问题呢？根据本人多年教学工作的一些体会。概括一些常见的题型。一、基础知识BA如图直线l同侧有两点A、B，在直线l上找点P，使得PA+PB最短，并简要说明理由。解：作点关于直线l的对称点A′，连A′B交直线l于点P,则点P即为所求，此时PA+PB=PA′+PB=A′B。PLLLA1二、典型例题：A组（1）以菱形为

2、载体的最短距离问题：如图所示，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_________。解：∵菱形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。∴点B关于直线AC的对称点为点D,连接DM交AC于点P,则PM+PB的最小值即为线段DM,此时DM=∴PM+PM的最小值为.DCPMBA（2）以矩形为载体求最短距离问题在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为为边CD中点。P为边BC上的任一点，求PA+EP的最小值。解：作点A关于BC的对称点A′，连A′E交BC于点P,则点P为所求，此时

3、PA+PE的最小值即为A′E,过点E，作EF⊥AB，A′E==5∴PA+PE的最小值为5。DAEFBPCA1（3）以正方形为载体的最短距离问题：如图所示，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为_________.解：∵正方形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。∴点B关于点D关于AC对称∵BE即为PD+PE的最小值∴PD+PE的最小值为2DAPEBC(4)以圆形为载体的最短距离问题：如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB,∠ABC=60°

4、，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值。解：延长AO交⊙O于点A1，则点A关于直线OA的对称点为A1，连A1C交OB于点P，则PA+PC的最小值为A1C，连AC，RT△AA1C中，COS300=A1C=4=，PA+PC的最小值是BCAPOA1