角动量守恒及其应用

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1、角动量守恒及其应用李泽林，过程装备与控制工程，10110902。摘要：掌握角动量守恒定律，并通过习题深入分析其应用和注意事项。关键词：刚体，角动量，转动惯量，惯性系。在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，常常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。但是如何正确应用角动量定律解题尤为重要。本文通过对角动量守恒定律详细的推导，加深对定律的理解，以及通过习题来深入分析角动量守恒的正确应用。1角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律OmPα图1r③胶泥碰前作自由落体运动，所以（3）由（1）、（2）

2、、（3）式可得如图1所示，质点m的动量为P，相对于参考点O的角动量为L，其值，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r的夹角。其角动量的变化量等于外力的冲量矩（M为外力对参考点O的力矩），即。若M=0，得=0，即质点对参考点O的角动量守恒。1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即。同样当时（即质点系的和外力矩为零），质点系对该参考点的角动量守恒。1．3角动量守恒的判断当外力对参

3、考点的力矩为零，即时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考点。③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。2角动量守恒定律的应用2.1开普勒第二定律，即行星对太阳的矢径在相等的时间间隔内扫过相等大小的面积如图，设行星的质量为m，它相对太阳的位矢为r，速度为v，走过的路程为s。行星受到太阳对它的万有引力，方向沿着它和太阳的连线

4、，因此行星受到的外力矩为零，它相对于太阳所在的点O角动量守恒。恒矢量角动量的大小为行星的速率为v=ds/dt。代入得式中,为行星对太阳的矢径在dt时间内扫过的面积dA的两倍，。代入得由于角动量守恒，L是一个常量，所以即行星对太阳的矢径在相等得时间间隔内扫过的面积相等。2.2如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方向与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A、B、C、D的速

5、度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。mmmMDBCAV0本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及杆子牵连速度来求解。但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，利用上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规律成为本题的难点，且守恒规律不易挖掘。解析①小球A、B碰撞瞬间，球A挤压B，其作用力方向垂直于杆，使球B获得沿方向的速度。从而在碰撞瞬间使小球C、D的速度也沿方向。对质点组B、C、D与A组成的系统，碰撞前后动量守恒。由于小球C位于由B、C、D三球组成的质点组的质心处，所以小球C的速度也就是质点组的质心

6、速度。可得：（1）②质点组B、C、D与A是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后A、B、C、D的速度分别为、、、，得（2）（2）③对质点组B、C、D在碰撞瞬间，在B处受到A球的作用力，若取B（与B球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B、C、D在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得（3）④由杆的刚性条件有：（4）由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得（5）（6）（7）（8）⑤碰撞后各小球的运动碰撞后，质点组B、C、D不受外力作用，其质心作匀速运动，即，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度

7、转动，角速度的大小为。方向为逆时针方向。由（6）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，由于M、m取值不同而导致运动情形比较复杂，即可以使；；且；情景的出现，在此不作详细讨论。2.3一质量为速度为的子弹击中并嵌入一质量为、长度为L的棒的一端，速度与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后与棒共同运动。求棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速度的大小。由题可知，子弹和棒构成的系统在打击前后所收到的外力为零，因此系统对任意一定轴的合力矩为零，系统角动量守恒。下面对几种常见的解法作出分析讨论。常见的错

8、误解：取固定z轴（过A点），因子弹打击时间很短，棒在打击过程中位置可以看做不变。设打击后系统的角速度为，则根据角动量守恒定律得（我刚开始做的解法）其中所以这种错误的解法究竟是错在哪里呢？这种解法忽视了角动量守恒定律的应用条件，角动量守恒定律适用于惯性参考系和质心参考系。若把z轴作为杆过A点的定轴，此时A点受到撞击后做变速运动，无形之中所选的参考系为非惯性参考系，因而角动量对z轴不守恒，