角动量守恒及其应用

《角动量守恒及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、角动量守恒及其应用李泽林，过程装备与控制工程，10110902。摘要：掌握角动量守恒定律，并通过习题深入分析其应用和注意事项。关键词：刚体，角动量，转动惯量，惯性系。在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题吋,常常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。但是如何正确应用角动量定律解题尤为重要。本文通过对角动量守恒定律详细的推导，加深对定律的理解，以及通过习题来深入分析角动量守恒的正确应用。1角动量守恒定律1・1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m的动量为P,相对于参考点0的角动

2、量为L,其值Lmpsina,其中a是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r的夹角。其角动量的变化量“等于外力的冲量矩必•山（M为外力对参考点0的力矩），即dL=M。若m二0,得AL=o,即质点对参考点0的角动量守恒。1.2质点系对参考点的角动量守恒定律由n个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量工“I",仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即儿汎Mg。同样当工M厂°时（即质点系的和外力矩为零），质点系对该参考点的角判断角动量守恒：①质点或质点系不

3、受外力。②所有外力通过参考点。③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。2角动量守恒定律的应用2.1开普勒第二定律，即行星对太阳的矢径在相等的时间间隔内扌n过相等大小的面积如图，设行星的质量为in,它相对太阳的位矢为门速度为V,走过的路程为So行星受到太阳对它的万有引力，方向沿着它和太阳的连线，因此行星受到的外力矩为零，它相对于太阳所在的点0角动量守恒。L=rxmv=恒矢量角

4、动量的大小为行星的速率为v二ds/dto代入得L=rmvsinards.L=rmsinadtrsinadsdt中，rsinads为行星对太阳的矢径在dt时间内扫过的面积dA的两倍，rsirmds=2dAo代入得L=2mdA~dt由于角动量守恒，L是一个常量，所以知常数即行星对太阳的矢径在相等得时间间隔内扫过的面积相等。2.2如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为21,两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质mmm量为M的小球A,以一给定速度oe

5、©DCBV。沿垂直于杆DB的方向与右端小▲Vo球B作弹性碰撞。求刚碰后小球MA、B、C、D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及杆子牵连速度来求解。但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，利用上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规律成为本题的难点，且守恒规律不易挖掘。解析①小球A、B碰撞瞬间，球A挤压B,其作用力方向垂直于杆，使球B获得沿％方向的速度％。从而在碰撞瞬间使小球C、I）的速度也沿％方向。对质点组B、C、D与A组成的系统，碰撞前

6、后动量守恒。由于小球C位于由B、C、D三球组成的质点组的质心处，所以小球C的速度也就是质点组的质心速度。可得：=Mva+3mvc（i）②质点组B、C、D与A是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后A、B、C、D的速度分别为乙、％、％、％,得(2)(2)③对质点组B、C、D在碰撞瞬间，在B处受到A球的作用力,若取B（与B球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B、C、D在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得(3)④由杆的刚性条件有：咻"厂％(4)0=mlvc+2mlvD由（1）、（

7、2）、（3）、（4）式，可得4M5M一6m(6)10M(7)=5M+6m2M(8)⑤碰撞后各小球的运动碰撞后，质点组B、C、D不受外力作用，其质心作匀速运动,1?II9171?_4M列応石呎+尹诚+尹沈+尹吭即%=5M+6m%,碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为①亠-％=6M%5M+6mI方向为逆时针方向。由（6）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、刃的大小有关，由于财、刃取值不同而导致运动情形比较复杂，即可以使冬“；-V0；乙>0且-Sj->%情景的出现，在此不

8、作详细讨论。2.3一质量为速度为的子弹击中并嵌入一质量为加2=99®、长度为L的棒的一端，速度与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后与棒共同运动。求棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速度的大小。由题可知，子弹和棒构成的系统在打击前后所收到的外力为零，因此系统对任意一定轴的合力矩为零，系统角动量守恒。下而对几种常见的解法作出分析讨论。常见的错误解：■■A0B取固定刁轴（过A点），因子弹打击时间很短，棒在打击过程中位置可以看做不变。设打击后系统的角速度为，则根据角动量守恒定律得（我刚开始做的解