第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理

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1、第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过∆ABC的顶点，并且与∆ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分BPCQAR别交于P、Q、R，则∙∙=1PCQARB证明：设、、分别是A、B、C到直线l的垂线的BPCQAR长度，则：∙∙=∙∙=1。PCQARB注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例1若直角∆ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。【解析】因为在∆EBC中，作∠B的平分线

2、BH，则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以∆EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于∆ACK和三点D、E、CDAEKFKFEKCKEPBPBKF根据梅涅劳斯定理有：∙∙=1，于是=====，DAEKFCFCAEACACBCBEKFBKKFBK即=，根据分比定理有：=，所以∆FKB≅∆CKE，所以BF∥CE。FCBEKCKE例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1，B1，ACADA1C1A1D1C1，D1，试证：:=:。BCBDB

3、1C1B1D1【解析】若AD∥A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别ADLD1A1KLCAKA1C1BCLC1B1KLDBK用于∆A1AL和∆B1BL可得：∙∙=1，∙∙=1，∙∙=1，∙∙LDA1D1AKACA1KLC1LCB1C1BKBDB1KB1D1ADBCA1C1B1D1ACADA1C1B1D1=1，将上面四个式子相乘，可得：∙∙∙=1，即：:=:LD1ACBDA1D1B1C1BCBDB1C1B1C1定理2设P、Q、R分别是∆ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、BPCQARQ、

4、R三点中，位于∆ABC边上的点的个数为0或2，这时若∙∙=1，求证P、Q、RPCQARB三点共线。证明：设直线PQ与直线AB交于R’，于是由定理1BPCQAR‘BPCQARAR‘AR得：∙∙=1，又因为∙∙=1，则=，PCQAR’BPCQARBR’BRB由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于∆ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R‘或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R‘同在AB线段上，则R与R‘必定重合，不然的话，设AR>‘‘‘ARAR‘ARAR‘R，这时AB−AR−R，即BRR，于是可得>，这与=矛盾，类似

5、BRBR‘BRBR‘地可证得当R与R‘同在AB的延长线上时，R与R‘也重合，综上可得：P、Q、R三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；例3点P位于∆ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、ACA、AB引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线。BA1BP∙cos∠PBCCB1CP∙cos∠PCAAC1AP∙cos∠PAB【解析】易得：=−，=−，=−CA1CP∙cos∠PCBAB1AP∙cos∠PACBC1BP∙cos∠PBAC将上面三个式子相乘，且因为∠PCA=∠PBC，∠PAB=∠PCB，1AC1

6、°BA1CB1AC1BB1∠PCA+∠PBA=180，可得∙∙=1，根据梅涅劳斯定理CA1AB1BC1可知A1、B1、C1三点共线。例4设不等腰∆ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。BXCEAF【解析】∆ABC被直线XFE所截，由定理1可得：∙∙=1，XCEAFBBXFBCYDCAZEA又因为AE=AF，代入上式可得=，同理可得=，=XCCEYAAFZBBDBXCYAZ将上面的式子相乘可得：∙∙=1，又因为X、Y、Z丢不XCYAZB在∆ABC的边上，

7、由定理2可得X、Y、Z三点共线。例5已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和A1B1的交点为C2，直线BC和B1C1的交点为A2，直线AC和A1C1的交点为B2，试证A2、B2、C2三点共线。【解析】设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB和（A1，B1，C2），OBC和（B1，C1，A2），OAC和（A1，C1，B2）应用梅涅劳斯定理有：AA1OB1BC2OC1BB1CA2OA1CC1AB2∙∙=1，∙∙=1，∙∙=1，将上面的三个OA1BB1AC2CC

8、1OB1BA2AA1OC1CB2BC2AB2CA2式子相乘，可得：∙∙=1，由梅涅劳斯定理可知A2、B2、C2AC2CB2BA2共线。例6在一条直线上取点E、C、A