实变函数a卷(解答)new

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1、院系专业年级学号华中师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A、B卷）课程名称实变函数课程编号42111300任课教师题型判断题叙述题简答题解答题总分分值15151060100得分一、判断题（判断正确、错误，并改正。共5题，共5×3=15分）1、可数个有限集的并集是可数集。.(×)改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。2、存在开集使其余集仍为开集。（√）3、若可测集列单调递减，则。(×)改正：若可测集列单调递减，且存在，使＜则。4、若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：实数，都是可测集。(×)改正：若是可测

2、集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：实数，都是可测集。5、若是可测集，是上的非负可测函数，则在上一定可积。(×)改正：若是可测集，是上的非负可测函数，则在上不一定可积。二、叙述题（共5题，共5×3=15分）1、集合的对等。答：设、是两个集合，若、之间存在一一对应，则称与对等。2、可测集。答：设，如果对任意，总有=，则称为可测集。3、可测集与型集的关系。答：设为可测集，则存在型集，使且、。4、叶果洛夫定理。答：设，{}为上几乎处处有限的可测函数列，也为上几乎处处有限的可测函数，如果a.e.于，则对任意，存在可测子集使在上，一致收敛于，而。

3、5、在可测集上依测度收敛于的定义。答：设为可测集，及为上几乎处处有限的可测函数，如果对任意总有，则称在上依测度收敛于。三、简答题（共1题，共1×10=10分）按从简单到复杂的方式简述Lebesgue的定义。答：1.设为可测集，为上非负简单函数，即（两两不交）且当时，则称为在上的Lebesgue积分，记为。————————————————————3分2.设为可测集，为上非负可测函数，则存在一列单调递增非负简单函数列使，则称为在上的Lebesgue积分，记为。—————————————————————7分3.设为可测集，为上可测函数，由于，如果与

4、至少有一个为有限数，则称－为在上的Lebesgue积分，记为。—————————————————————10分四、解答题（共6题，共6×10=60分）1、设是上的连续函数，证明是上的可测函数。证：对任意实数，因是上的连续函数则是开集。————————————————————6分而开集为可测集，从而是可测集所以是上的可测函数。————————————————————10分2、证明外测度的单调性，即若，则。证：设{}为任一列覆盖的开区间列即又，所以———————————————5分两边同时取下确界得———————————————10分3、证明有理

5、数集的外测度为零。证：因为有理数集，所以为可数集即——————4分对任意，取开区间,——————6分显然所以≤==———————————————8分再由的任意性知。——————————————10分4、利用Lebesgue控制收敛定理，求。证：显然而≤—————————————4分且绝对收敛所以—————————————8分由Lebesgue控制收敛定理知原式=0—————————————10分5、设，其中是上的Cantor集，求。证：因，所以a.e.于——————————5分所以由积分的唯一性知。——————————10分6、若中的可测集列

6、，满足，则证：因=，——————————————4分所以让，由夹逼原则知又所以。—————————————————10分