实变函数试卷及解答new

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1、华中师范大学2008–2009学年第一学期期末考试试卷课程名称实变函数课程编号83410014任课教师题型判断题叙述题计算题解答题总分分值15151060100得分一、判断题(判断正确、错误,请在括号中填“√”或“×”。共5小题,每题3分,共5×3=15分)1、设则集合是可数集合。()2、Cantor集是中无处稠密的完备集合。()3、设是可测集,若对任何有理数可测,则在上可测。()4、若是可测集,则对任何是上的可测集合。()5、若是上的有界变差函数,则。()二、叙述题(共5小题,每题3分,共5×3=15分)1、Bernste

2、in关于两集合对等的定理2、中开集的构造定理3、Lusin定理4、Fubini定理三、计算题(共1题,共1×10=10分)设为全体有理数所成的集合,在上函数定义如下:求。四、解答题(共6小题,每题10分,共6×10=60分)1、设是集且,证明:必存在一列单调下降包含于的开集,使得。2、设是中的测度有限的可测集,若几乎处处有限的可测函数列在上几乎处处收敛于a.e.于,试用Egoroff定理证明存在一列可测集合使得在每个上一致收敛于,而。3、设都是可测集上的非负可测函数且,用表示集合的特征函数(示性函数)。证明函数是上的可测函数

3、。4、设是中的可测集,是上的Lebesgue可积函数。证明:(1)若于,则存在上的非负简单函数列使得;(2)存在上的简单函数列使得。5、设,证明若在上,则。6、设函数是中的有界可测集上的Lebesgue可积函数,且。证明:(1)是上的连续函数,其中是以原点为中心以为半径的开球。(2)存在可测集,使得且。华中师范大学2008–2009学年第一学期期末考试试卷解答课程名称实变函数课程编号83410014任课教师题型判断题叙述题计算题解答题总分分值15151060100得分一、判断题(判断正确、错误,请在括号中填“√”或“×”。共

4、5小题,每题3分,共5×3=15分)1、设则集合是可数集合。(×)2、Cantor集是中无处稠密的完备集合。(√)3、设是可测集,若对任何有理数可测,则在上可测。(√)4、若是可测集,则对任何是上的可测集合。(×)5、若是上的有界变差函数,则。(×)二、叙述题(共5小题,每题3分,共5×3=15分)1、Bernstein关于两集合对等的定理答:Bernstein定理:若是两集合,如果存在的子集,的子集,使,则.2、中开集的构造定理答:(1)中非空开集是至多可数个互不相交的开区间的并集,反之亦真。(2)中非空开集是可数个互不相

5、交的半开半闭区间并集。3、Lusin定理答:设是可测集上几乎处处有限的可测函数,则,存在闭子集使在上连续,且。4、Fubini定理答:设在上可积,则(1)对几乎所有的,作为的函数在上可积;(2)在上可积;(3)5、有界闭区间上绝对连续函数的定义答:设定义于上,如果对于任意的>0,使于上的任意一组分点,只要,便有,则称为上的绝对连续函数.,或说在上绝对连续。三、计算题(共1题,共1×10=10分)设为全体有理数所成的集合,在上函数定义如下:求。解:因从而几乎处处于。显然,是上的连续函数,从而在上有界且Riemann可积,故由R

6、iemann积分与Lebesgue积分的关系定理,在上Lebesgue可积且由于几乎处处于,故由积分的基本性质四、解答题(共6小题,每题10分,共6×10=60分)1、设是集且,证明:必存在一列单调下降包含于的开集,使得。证:因是集,所以存在中的一列开集{},使得。而,故,令=,则显然{}是包含于单调下降的开集列且G=。2、设是中的测度有限的可测集,若几乎处处有限的可测函数列在上几乎处处收敛于a.e.于,试用Egoroff定理证明存在一列可测集合使得在每个上一致收敛于,而。证:由Egoroff定理知可测集,使得在上一致收敛于

7、,而。于是,对任何正整数,取,则存在可测集,使得在每个上一致收敛于,而。因为,故从而。3、设都是可测集上的非负可测函数且,用表示集合的特征函数(示性函数)。证明函数是上的可测函数。证:对任意实数,我们有显然和是上的可测集。而由于都是上的非负可测函数,故和可测,从而也可测。于是都可测,故是上的可测函数。4、设是中的可测集,是上的Lebesgue可积函数。证明:(1)若于,则存在上的非负简单函数列使得;(2)存在上的简单函数列使得。证:(1)因为非负可测,故在上存在非负简单函数列,使得。而,故由Lebesgue控制收敛定理知。(

8、2)设分别是的正部和负部,则在上都非负可积,从而应用(1)的结论知,存在上的非负简单函数列和,使得令,则是上的简单函数,且由不等式知。5、设,证明若在上,则。证:先设,则由定义知,即现任给,若,则,从而若则取,此时从而也有故于。由于,,由Lebesgue有界收敛定理知。6、设函数是中的有界

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