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1、第六章空间解析几何与向量代数第六章空间解析几何与向量代数第二十二讲§6.1向量及其运算教学目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；教学重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握教学过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的表示方法有两种:、向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量、的模分别记为、.单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作.规定：方向可
2、以看作是任意的.相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a//b.规定：零向量与任何向量都平行.二、向量运算向量的加法向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.向量的减法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差
3、向量。,2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a与实数l的乘积记作la,规定la是一个向量,它的模
4、la
5、=
6、l
7、
8、a
9、,它的方向当l>0时与a相同,当l<0时与a相反.(1)结合律l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律(l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.例1 在平行四边形ABCD中,设=a,=b.-70-第六章空间解析几何与向量代数试用a和b表示向量、、、,其中M是平行四边形对角线的交点.解：a+b于是(a+b).因为,所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).定理1设向量a¹0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯
10、一的实数l,使b=la.三、空间直角坐标系过空间一个点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。其中x轴与y轴所确定的平面叫做xOy面，y轴与z轴所确定的平面叫做yOz面，z轴与x轴所确定的平面叫做zOx面。三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限叫做第I卦限，其它第Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，在xOy坐标面的上方，按逆时针方向确定。第Ⅴ到第Ⅷ卦限分别在第Ⅰ到第Ⅳ卦限的下方（如图）。zyOⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx设
11、P为空间一点，过点P分别作垂直x轴、y轴、z轴的平面，顺次与x轴、y轴、z轴交于PX，PY，PZ，这三点分别在各自的轴上对应的实数值x，y，z称为点P在x轴、y轴、z轴上的坐标，由此唯一确定的有序数组（x，y，z）称为点P的坐标。依次称x，y和z为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标，并通常记为P（x，y，z）。坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.例如:点M在yOz面上,则x=0;同相,在zOx面上的点,y=0;在xOy面上的点,z=0.如果点M在x轴上,则y=z=0;同样在y轴上,有z=x=0;在z轴上的点,有x=y=0.如果点M为原点,则x=y=z=0.四、利用坐标作向量的线性
12、运算对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算利用向量的坐标判断两个向量的平行:设a=(ax,ay,az)¹0,b=(bx,by,bz),向量b//aÛb=la,即b//aÛ(bx,by,bz)=l(ax,ay,az),于是.-70-第六章空间解析几何与向量代数例2求解以向量为未知元的线性方程组,其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).解如同解二元一次线性方程组,可得x=2a-3b, y=3a-5b.以a、b的坐标表示式代入,即得x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2
13、,16).例3已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数l¹-1,在直线AB上求一点M,使.解设所求点为M(x,y,z),则,.依题意有,即(x-x1,y-y1,z-z1)=l(x2-x,y2-y,z2-z),,.点M叫做有向线段的定比分点.当l=1,点M的有向线段的中点,其坐标为,,.第二十三讲§6.2空间向量数量积与向量积教学目的：掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积的性质；掌握其计算方法。教学重点与难点：数量积与向量积的计算方法
