复变函数与积分变换

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1、目录第一章复数与复变函数………………………………1第二章解析函数………………………………………3第三章复变函数的积分………………………………5第四章解析函数的级数表示…………………………6第五章留数及其应用…………………………………8第八章傅里叶变换……………………………………9第九章拉普拉斯变换………………………………10第一章复数与复变函数1．复数的基本概念：复数：，称为复数单位，并规定，与是任意实数，依次称为的实部与虚部，分别表示为。2．共轭复数：设是一个复数，称为的共轭复数，共轭复数的性质：①②③④⑤⑥3．复数的四则运算：设，是两

2、个复数，则：①加（减）法：②乘法：10③除法：4．复数的模与辐角：如果是一个不为零的复数，我们把它所对应向量的长度叫做的模，记作；把它所对应向量的方向角叫做辐角。用记号Arg作为的辐角的一般表示，再用arg表示的辐角中介于与之间（包括）的那一个角，并把它称为的主辐角，即

3、法：8．复数的乘方与开方：设是一个复数，是一个正整数，则：①②设，则复数开方有：9．平面曲线：以坐标原点为中心，以为半径的圆周，写成复数的形式为：10．复变函数：设是复平面上的一个点集，如果对于中任意的一点，有确定的（一个或多个）复数和它对应，则说在上定义了一个复变函数，记作。11．复变函数的极限与连续性：①设函数，则的充要条件是，10②函数在处连续的充要条件是与在处连续12．在有界闭区域上的复连续函数，具有下列几个性质：①有界闭区域上的连续函数是有界的②有界闭区域上的连续函数，在上其模至少取得最大值与最小值各一次③有界闭区域上的连续函数

4、，在上是一致连续的第二章解析函数1．复变函数的导数：2．解析函数：如果在及的领域内处处可导,则称在处解析;如果在区域内每一点解析,则称在内解析,或说是内的解析函数;如果在处不解析,则称为的奇点。３．函数在一点处解析，则一定在该点可导，但反过来不一定成立；函数在区域内解析与在区域内处处可导是等价的。４．解析函数的求导法则：（１）四则运算法则：设和都是区域上的解析函数，则：①　　　　②③（２）复合函数的求导法则：设，则有：５．函数解析的充分必要条件：函数在处可导的充分必要条件是在点出可微，且满足柯西－黎曼方程（Ｃ－Ｒ方程）：10６．调和函数：

5、如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。７．定理：设函数在区域内解析，则的实部和虚部都是区域内得调和函数。８．对于函数，其中的和的求法：　　９．初等函数：（１）指数函数：对于复数，称为指数函数。欧拉公式：性质：①　　　②设，，则　　　③是以为周期的函数，即：　　　④复变量指数函数当趋向于时没有极限（２）对数函数：，令，则：性质：①运算性质：，　　　②解析性：的各分支在除去原点及负实轴的平面内也解析，且有相同的导数值。（３）幂函数：（为复常数，）性质：①当为正整数时，，是一个单值函数　　　②当

6、为零时，　　　③当为有理数（与为互质的整数，）时，　　　④当为无理数或复数时，（４）三角函数：函数与分别称为复变量10的余弦函数与正弦函数，记作与，即：＝；＝性质：①与均为单值函数②与均为以为周期的周期函数③为偶函数，为奇函数④；⑤⑥与在复平面上均为解析函数，且第三章复变函数的积分1．定理：设在光滑曲线上连续，则它的积分：2．设曲线的参数方程为，则解析函数的积分就变成：3．圆的参数方程：，则积分4．复积分的基本性质:①②③④,其中5．柯西积分公式：设在简单闭曲线所包围的区域内解析，在上连续，是内任一点，则6．解析函数的高阶导数：10第四章

7、解析函数的级数表示1．定理：设，，则的充分必要条件是，2．复数项级数：，部分和序列：如果极限存在，则称级数是收敛的，称为级数的和；如果没有极限，级数发散3．定理：级数收敛的充分必要条件是级数和级数都收敛4．定理：级数收敛的必要条件是：；若，则级数必然发散5．定理：如果收敛，则也收敛6．复变函数项级数：7．幂级数：，或者：8．定理：若幂级数在处收敛，那么该级数对任意满足的都绝对收敛；在处发散，则该级数对任意满足的都发散9．定理：对幂级数，如果下列条件之一成立：（1）（2），那么级数收敛。收敛半径：1010．幂级数和函数性质：若幂级数的和函数

8、在收敛圆内解析，则在收敛圆内可逐次求导和逐次积分，即：11．泰勒级数：设函数在圆盘内解析，则在内的泰勒级数展式为：12．迈克劳林展开式：在泰勒级数的基础上取，则有：13．基本泰勒展式：①②14