求函数值域的十种方法

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1、中学数学教育教学研究http://caoyayun.org/shuxue/目录求函数值域的十种方法1一、直接法（观察法）：1二、配方法1三、反函数法2四、分离变量法2五、换元法3六、判别式法6七、函数的单调性法6八、利用有界性7九、图像法（数型结合法）8十：不等式法10十一、多种方法综合运用11求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1．求函数的值域。【解析】∵，∴，∴函数的值域为。【练习】1．求下列函数的值域：①；②；③；，。【参考答案】①；②；③；。二．配方法：适用于

2、二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。第13页共13页中学数学教育教学研究http://caoyayun.org/shuxue/例2．求函数（）的值域。【解析】。∵，∴，∴，∴，∴。∴函数（）的值域为。例3．求函数的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。例4．若，试求的最大值。【分析与解】本题可看成第一象限

3、内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得：，y=1时，取最大值。【练习】2．求下列函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；，；。【参考答案】①；②；③；④；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。第13页共13页中学数学教育教学研究http://caoyayun.org/shuxue/适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例5．求函数的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有

4、自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。反解得，故函数的值域为。【练习】1．求函数的值域。2．求函数，的值域。【参考答案】1．；。四．分离变量法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例6：求函数的值域。解：∵，∵，∴，∴函数的值域为。适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式。例7：求函数的值域。分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有。不妨令：从而。第13页共13页中学数学教育教学研究http://

5、caoyayun.org/shuxue/注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母.所以故。另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。【练习】1．求函数的值域。【参考答案】1．五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8：求函数的值域。解：令（），则，∴。∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。例9：求

6、函数的值域。解：因，即。故可令，∴。∵，，故所求函数的值域为。例10.求函数的值域。解：原函数可变形为：第13页共13页中学数学教育教学研究http://caoyayun.org/shuxue/可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为例11.求函数，的值域。解：令，则由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。例12.求函数的值域。第13页共13页中学数学教育教学研究http://caoyayun.org/shuxue/解：由，可得故可令∵当时，当时，故所求函数的值域为：六、判别式法：把函数转化成关于的二

7、次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例13：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，∵，∴，解得，又，∴∴函数的值域为七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例14：求函数的值域。解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，第13页共13页中学数学教育教学研究http://caoyayun.org/shuxue/∴函数在定义域上是增函数。∴，∴函数的值域为。例15.求函数的值域。解：原函数可

8、化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例16：求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调