实变函数练习及答案

《实变函数练习及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（）是不可数集合。所有系数为有理数的多项式集合；中的无理数集合；单调函数的不连续点所成集合；以直线上互不相交的开区间为元素的集。2、设是可测集，是不可测集，，则是（）可测集且测度为零；可测集但测度未必为零；不可测集；以上都不对。3、下列说法正确的是（）在—可积在—可积；在—可积在—可积；在—可积在—可积；在—广义可积在—可积4、设是一列可测集，则有（）；；；以上都不对。5、成立的充分必要条件是（）；；；。6、设是闭区间中的无理点集，则（）；；是不可测集；是闭集。

2、7、设，是上几乎处处有限的可测函数列，是上几乎处处有限的可测函数，则几乎处处收敛于是依测度收敛于的（）7必要条件；充分条件；充分必要条件；无关条件。8、设是上的可测函数，则（）是上的连续函数；是上的勒贝格可积函数；是上的简单函数；可表示为一列简单函数的极限。c二、填空题：1、设，，如果的任何邻域中都含有的点，则称是的聚点。2、设，若是有界点集，则至少有一个聚点。3、设是上的可测函数，，则是上的函数。4、设在上，依测度收敛于，则存在的子列，使得在上，敛于。5、设设,则________________。6设

3、P是Cantor集，，则___________。7、写出一个与之间一一对应关系式___________________。8.设，则。9、设是中有理数全体，则的闭包为_____________。10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。三、判断题。1、与的势是不等的。……………………()2、设，为上一列有限的可测函数，若在上收敛于有限的可测函数，则在上依测度收敛于。…………()3、若则。……………()4、设在上可积,则在上必可积。……

4、…………()75、若不是的聚点，则是的孤立点。……………………………………()6、设，则对上的任何实值函数都有。………………()7、设在上可测，则由在上可积可以推出在上可积，但反之不对。…()8、若为上非负单调可测函数列，且，则。…()四、计算题与证明题1、证明：若，，则。2、设是上的实值连续函数，是任意给定的实数，证明是开集。3、设，都是可测集，试证：。4、设在可测集上，，且于，试证明：于.5、设,,则在上几乎处处成立.76、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.7、计算。8、若且有关函数的积分存在，证明：。

5、答案一．选择题1．B2．C3．A4.B5.D6.A7.B8.D二．填空题1.无穷多个2.无穷3.可测4.几乎处处收敛5.6.17.8.　9.10.有限个或可列个构成区间三、判断题1．×2.√3.×4.×5.×6.√7、×8.×四、证明与计算1.证明：根据集合的性质有：并且集合与，与是不相交的。由于，因此，由题设可知，于是。2、设，则存在中的互异点列，使得，因连续，所以7，而，由极限的保号性，，因此，故是闭集。由于，故是开集。3、证明：由于，都是可测集，根据可测集的性质，和都是可测集。如果和中至少有一个为

6、，则结论显然成立。设，。根据集合的性质可知而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可加性有所以成立。4、证明：因，则由黎斯定理，存在子列，使得于。令，则。对任意，有，且。由于是增加数列，故，因此在上恒有成立，故于.5、.证明:由于,故对任何自然数,,从而7令,即得.但是故,即a.e.于E.6．叙述：设是上a.e.有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且证明：是上的可测函数。证明：闭集在连续。令则在连续在F连续，又对，故，在连续，又，所以是上的可测函数，从而是E上的可测函数。7

7、．解：令，易见若，则若，则令则在上，由与知在是可积函数，于是由控制收敛定理得：。8．证明：若则，于是由不等式7令，则得到7