资源描述：
《实变函数试题及答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、实变函数试题及答案【篇一：实变函数测试题10-参考答案】本试题参考答案由陈丽仙（学号：，应数班）提供，11??a??1?,1?,n?1,2,3,?,分别求?a?的上极限与下极限。1、设n??nnn??解：limak?{x存在无限多个ak，使x?ak}???1,1?x??limak?{x当k充分大，总有x?ak}???1,1?x??2、试证明下面三个陈述等价（1）p0是e的聚点。（2）p0的任意领域内，至少含有一个属于e而异于p0的点。（3）存在中互异的点所成的点列?pn?，使得pn?p0(n??)。证：由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然
2、的，现证由（2）推出（3）.由假定在u(p0,1)中至少有一点p1属于e而异于p0，令?1?mind{p0(?11213),则在}u(p0,?1)中至少有一点p2属于e而异于p0，令，?2?min{d(p2,p0),，则在u(p0,?2)中又至少有一点p3属于e而异于p0，这样继续下去，便得到点列{pn}，它显然满足要求，证毕.3、设s1,s2,?,sn是一些互不相交的可测集合，ei?si,i?1,2,?,n,求证m*(e1?e2???en)?m*e1?m*e2???m*en。证：因为s1,s2,???,sn互不相交，且ei?si,i?1,2,?
3、??,n,所以e1,e2,???,en也不相nniinni交。令t?所以?e，易知t?si?1?ei,t?(?si)?i?1?(t?si?1)??ei?1i?t。n***nnn*mt?m(t?(?si))?m(?(t?si))?i?1i?1?mi?1(t?si)??mi?1*ei.4、证明有理数集是可测集。证：令e为r中的有理数全体，则e为可数集。设e?{r1,r2,?,rn,?}，则对???????0，令ii??ri?i?1,ri?i?1?22??，则ii??2i??i?，e??i，而?i?1i?1ii??2i?1?i??，故me?inf*??
4、i?1ii即m*e?0。下证e可测。对任意t，t?(e?t)?(t?ee)，所以m*t?m*(e?t)?m*(t?ee)。e?t,m*(t?e)?m*t，又(e?t)?e，所以m*(e?t)?m*e?0.t?痧所以m*(e?t)?m*(t?ee)?m*t，所以m*t?m*(t?e)?m*(t?ee)，因而e是可测的。5、设e?rq，m*e?0，试证对任意的a?rq，有m*(e?a)?m*a。证：m*(e?a)?m*e?m*a?m*a又a?e?a则m*a?m*(e?a)故m*a?m*(e?a)6、设有指标集i，{f?(x)}??i是rp上的一簇可测
5、函数，试问s(x)?supf?(x)是??i否也是rp上的可测函数，为什么？解：不一定。设i是e上的不可测集，对???i，令?1,x??,f?(x)??0,x??。?x?i,??1,则s(x)?supf?(x)??不可测。??i??0,x??0,1?i。f(x)在e7、证明：上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，e?f?r?可测。如果集e?f?r?可测，问f(x)是否可测？证：若对?a?q,e?f?r?可测，则对任意?a?r,记{rn}是大于a的一切有理数，则有e?f?a???e?f?rn?，由e?f?rn?可测得e?f?a?是可测的，所以i
6、?1?f(x)是e上的可测函数。若对?r?q,e?f?r?可测，则f(x)不一定是可测的。例如，e?(??,??)，z是(??,??)中不可测集。对任意x?z，f(x)?x?z,f(x)?，则对任意的有理数，e?f?r???是可测的。而e?f??z是不可测的。一次?f不是可测的。8、设f(x)，g(x)是e上非负可测函数且f(x)g(x)e上可积。令ey?e[g?y]。证明：f(y)??ef(x)dxy对一切y?0都存在，且成立??f(y)dy??ef(x)g(x)dx。证：由于g(x)是e上非负可测函数，则对?y?0,ey是可测集，从而f(y)
7、??（efx）dx存在且f(y)?0。用fubini定理，可知y??????0f(y)??0???（fx）?edx?dyy???????e?e（yx）（fx）dx?dy??ef(x)????（0?eyx）dy?dx??)ef(x)??g(x01dy?dx??ef(x)g(x)dx。这里?e（yx）表示ey上的特征函数。9、设me??,f(x)在e上可积，en?e[f?n],则limnn?men?0。证：由于f(x)在e上可积，故为e上a.e.有限的可测函数，所以?me???f?????0。另外，由en?en?1,me1?me??以及?en?e??
8、f????，i?1则有limnmne?m?e?f???。0?由于（fx可积，由积分的绝对连续性，对于???0，???0，当e?e且me?
