2012017学年江苏宿迁高一上期末数学试卷

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最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学2016-2017学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B=　　．2．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为　　．3．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4）=　　．4．（5分）函数f（x）=的定义域是　　．5．（5分）已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为　　．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t的值为　　．7．（5分）函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是　　．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2016）的值为　　．9．（5分）计算（）﹣lg﹣lg的结果为　　．10．（5分）已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为　　．11．（5分）函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为　　．第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学12．（5分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为　　．13．（5分）如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若•=2，•=4，则BC的长度为　　．14．（5分）定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是　　．　二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩∁RB；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．16．（14分）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．17．（14分）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学18．（16分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？19．（16分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．20．（16分）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．　第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学2016-2017学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B=　{﹣1，0，2}　．【解答】解：集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B={﹣1，0，2}故答案为：{﹣1，0，2}　2．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为　π　．【解答】解：∵函数中，振幅A=1，初相φ=，且ω=2∴函数的最小正周期为T==π故答案为：π　3．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4）=　2　．【解答】解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过，则有=3a，∴a=，即f（x）=x，∴f（4）=（4）=2．故答案为：2．　4．（5分）函数f（x）=的定义域是　（﹣∞，0）　．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学只需1﹣2x＞0，即2x＜1，解得x＜0．则定义域为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．　5．（5分）已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为　1　．【解答】解：令f（x）=3x+x﹣5，由y=3x和y=x﹣5均为增函数，故f（x）=3x+x﹣5在R上为增函数，故f（x）=3x+x﹣5至多有一个零点，∵f（1）=3+1﹣5＜0f（2）=9+2﹣5＞0∴f（x）=3x+x﹣5在区间[1，2]有一个零点，即方程方程3x+x=5的解所在区间为[1，2]，故k=1，故答案为：1　6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t的值为　4　．【解答】解：∵=+2，=3+4，=2t+（t+5），∴=（2，2），=（2t﹣1，t+3），∵与共线，∴，解得t=4．第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学故答案为：4．　7．（5分）函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是　　．【解答】解：∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴f（x）=cos2x∈．故答案为：　8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2016）的值为　　．【解答】解：由图象知A=3，=3﹣（﹣1）=4，即函数的周期T=8=，即ω=，由五点对应法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ=，则f（x）=3sin（x+），则f（2016）=3sin（×2016+）=3sin（504π+）=3sin（）=3×=，故答案为：　第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学9．（5分）计算（）﹣lg﹣lg的结果为　　．【解答】解：（）﹣lg﹣lg=（）﹣2﹣lg==．故答案为：．　10．（5分）已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为　　．【解答】解：∵==2，解得：tanα=3，∴sin2α﹣sinαcosα====．故答案为：．　11．（5分）函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为　　．【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=cos（φ+）由于其图象关于y轴对称，∴φ+=kπ，k∈z，∴φ=﹣2kπ，k∈z，由φ＞0，可得：当k=0时，φ的最小正值是．故答案为：　第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学12．（5分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为　　．【解答】解：当函数f（x）=是R上的单调增函数，可得：，解得a∈．当函数f（x）=是R上的单调减函数，可得：，解得a∈∅．故答案为：．　13．（5分）如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若•=2，•=4，则BC的长度为　3　．【解答】解：∵•=2，且•====，得，∴．∴=13﹣4=9．第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学∴．故答案为：3．　14．（5分）定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是　　．【解答】解：①画出：x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，f（x）的图象，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（﹣x）=f（x），f（x）+f（2﹣x）=0，可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．当a＞1时，画出函数y=loga（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此loga（|8|+1）=2，解得a=3．②当1＞a＞0时，画出函数y=loga（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此满足：loga（6+1）＞﹣2，loga（10+1）＜﹣2，解得：＜a＜．故所求的实数a的取值范围是．故答案为：．第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学　二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩∁RB；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时，B=[m，m+6]=[2，8]，…（1分）∁RB=（﹣∞，2）∪（8，+∞）；…（4分）又A=[﹣1，3]，所以A∩∁RB=[﹣1，2）；…（7分）（2）因为A∪B=B，所以A⊆B，…（9分）由A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，得，…（12分）解得﹣3≤m≤﹣1，即m的取值范围是[﹣3，﹣1]．…（14分）　16．（14分）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为角θ的终边经过点P（3，﹣4），所以x=3，y=﹣4，所以，…（1分）所以，…（3分），…（5分）．…（7分）（2）因为cos（3π﹣θ）=﹣cosθ，…（8分），…（9分），…（10分）tan（π+θ）=tanθ，…（11分）所以…（12分）=．…（14分）　17．（14分）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．【解答】解：（1）设=（x，y），则x2+y2=5…（2分）因为∥，所以4y﹣2x=0…（4分）由，可得或第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学所以的坐标为：（2，1）或（﹣2，﹣1）；…（6分）（2）因为﹣与5+2垂直，所以（﹣）（5+2）=0…（8分）化简得：52﹣3•﹣22=0又因为，，所以•=﹣5…（10分）cosθ=…（12分）又因为θ∈[0，π]，所以．…（14分）　18．（16分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？【解答】解：（1）设花坛的面积为S平方米.…（2分）==…（4分）答：花坛的面积为；…（5分）（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米由题意知60•2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=1200即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）=40*…（7分）第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学…（9分）由*式知，…（11分）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10所以=…（13分）当x=5时，S取得最大值，即r2﹣r1=5时，花坛的面积最大．…（15分）答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…（16分）　19．（16分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．【解答】（1）（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以在R上恒成立．…（2分）所以（a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．所以，解得或…（4分）由定义域为R舍去，所以．…（5分）（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，当x=0时，得，得a=b+1，…（1分）当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得，解得：，…（3分）此时为奇函数；…（4分）所以．…（5分）第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学（2）函数f（x）为R上的单调增函数．…（6分）证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，则=…（8分）因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的单调增函数．…（10分）（3）因为f（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm而函数f（x）为R上的奇函数，所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．…（12分）令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．因为f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，…（14分）解得，所以实数m的范围是．…（16分）　20．（16分）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．【解答】解：（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，则f（x+2）﹣f（x）=a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）=4ax+4a+2b…（2分）由f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4=0恒成立，又f（0）=0所以，所以，所以f（x）=﹣x2+4x…（4分）（2）g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，所以b≤2或a≥2①1°当b≤2时，g（x）在区间[a，b]上单调增，所以，即a，b为g（x）=x的两个根，所以只要g（x）=x有小于等于2两个不相等的实根即可，所以x2﹣3x﹣m=0要满足，得…（6分）2°当a≥2时，g（x）在区间[a，b]上单调减，所以，即两式相减得（b﹣a）（a+b﹣5）=0，因为b＞a，所以a+b﹣5=0，所以m=a2﹣5a+5，，得…（9分）综上，m的取值范围为…（10分）②（法一）设x0为g（x）的零点，则，即第16页（共16页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学，即﹣m2﹣4m+m=0，得m=0或m=﹣3…（12分）1°当m=0时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）=﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）所以h（x）所有零点为0，2，4…（14分）2°当m=﹣3时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3=﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）（因为必有因式﹣x2+4x﹣3，所以容易分解因式）由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得，所以h（x）所有零点为…（16分）（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，所以﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m中必有因式﹣x2+4x+m，所以可设：﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t）展开对应系数相等得或（下同法一）．　第16页（共16页）