正交小波基的构造和性质

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1、研究生课程考试答题纸研究生课程答题纸研究生学院题号一二三四五六七八九十总分评卷教师签名得分一、详细归纳正交小波基的性质和构造过程。（20分）二、运用小波包的方法，在MATLAB中对tieda_noise.bmp图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。（30分）三、课程论文：综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，要求包括题目、摘要、引言、正文、结论、参考文献，每个课程论文均不少于2000字。（20分）四、平时成绩，包括出勤、课堂练习、课后作业。（30分）第31页研究生课程考试答题纸

2、研究生课程答题纸研究生学院题号一二三四五六七八九十总分评卷教师签名得分一、详细归纳正交小波基的性质和构造过程。（20分）二、运用小波包的方法，在MATLAB中对tieda_noise.bmp图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。（30分）三、课程论文：综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，要求包括题目、摘要、引言、正文、结论、参考文献，每个课程论文均不少于2000字。（20分）四、平时成绩，包括出勤、课堂练习、课后作业。（30分）第31页研究生课程考试答题纸第一题正交小波基的构

3、造和性质本题中，滤波器代表高通滤波器；滤波器代表低通滤波器；一、由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数构造正交小波基，构造步骤如下：（1）选择或使为一组正交基。（2）求：(1-1)或(1-2)（3）由求：(1-3)或(1-4)（4）由，构造正交小波基函数：(1-5)或(1-6)例1．Haar小波的构造选择尺度函数第31页研究生课程考试答题纸显然为一正交归一基，则由式（1-3）可得例2．由尺度函数为Riesz基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。

4、但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz基来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。首先给出Riesz基的定义：设函数张成的空间为的Riesz基的充分必要条件为存在两常数，使得对于所有都有第31页研究生课程考试答题纸(1-7)可以证明式（1-7）等价于因此我们可以定义一个，使得显然，满足即是正交基。且可以构成的多分辨率分析框架。由此可由入手，构造一个正交小波基。可以证明如下：（1）除了时（此时为Haar小波）例外，其他都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程。（2）正交的及其构造的小波函数（Ba

5、ttle－Lemarie小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴，即无限长）。（3）当为偶数时，（或）关于对称，当奇数时，（或）关于对称。而所有Battle－Lemarie小波关于对称。并且已证明和都具有指数衰减性。（4）结论：正交小波的光滑性和衰减性是一对矛盾特性。二、紧支集正交小波基的性质和构造由MRA理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程：第31页研究生课程考试答题纸（1-8a）（1-8b）由上式可知，即使是支集紧的，相应的的支集未必是紧的。因此既简单又重要的是要求式（1-8）的右边仅包含有限项，此

6、时只要作适当的平移变换即可将双尺度方程写成：（1-9a）（1-9b）如此，若是正交MRA中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数也是紧支集的。现在的关键问题是要求出满足式（1-9a）的双尺度方程中的。由式（1-9a）可以知道如果先直接寻找函数，然后再来确定有限项的是不容易的。相反，若有限长度的已确定，再来确定则容易些。1.紧支集正交小波基的构造构造紧支集正交小波基的双尺度方程也就是构造特征多项式的方法可归结为下列步骤：1）选定一整数。2）选定一多项式，使它满足以下三式：(1-10)第31页研究生课程考试答

7、题纸(1-11)其中满足，其中(1-12)(1-13)3）寻找一实系数三角多项式，使得。选取方法是：从的每四个复零点中选两个，每对实零点中选一个，按照下式构造。4）则得最简单的情况是取，此时是正系数多项式，所以条件式（1-12）显然得到满足，且因当时，单调增加，因此，(1-14)故条件式（1-14）也得到满足。于是利用Riesz引理即可构作实系数三角多项式，满足由构作时，我们选取时，我们选取在单位圆内的根，这相应于设计滤波器时选取最小相位。当时，的具体解析式为第31页研究生课程考试答题纸相应的为：当时：此时的非零

8、长度为。当时：此时的非零长度为。图1-1Daubechies尺度函数（N＝4，6，8，…40）第31页研究生课程考试答题纸图1-2Daubechies小波函数（N＝4，6，8，…40）当时相应的尺度方程系数见表1，其相应的非零长度为，图1-1和1-2示出了一些尺度函数与小波母函数的图形。对这样的紧支集小波，它的一般性质如下：（1）支集大小由式（1-14）得到不同下尺度函数