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《7.1正交小波基的构造》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、信号多分辨表示与尺度函数一个正交小波基由一个母小波函数（motherwaveletfunction）ψ的伸缩和平移生成：⎧⎫⎪⎪12tn−j2⎨⎬ψψjn,()tj=∈(j)(,)nZ⎪⎪⎩⎭2j22构成L()R空间的一组规范正交基，也就是说：⎧1nmjl==且ψψjn,,(),ttjlm()=−−δδ(l)(nm)=⎨(1)⎩0其他利用正交小波基，我们可以把任一个能量有限的连续时间信号展开成小波级数（Waveletseries）,就是说，2∀∈f()tLR()f()tf=∑∑jn∫()tψψjn,,
2、()tdtjn()t(2)其中，过程w(f;j,n)=ft)(ψt)(dt∫j,n称作小波分解，相应的系数称作小波系数。另外，按照(2)式的级数展开，从小波系数很容易恢复到原信号。于是，基于小波变换的信号处理可以用下面的框图表示f()tw⎯⎯⎯→→(;,)fjn系数域处理→⎯wˆ(;,)fjn⎯⎯→fˆ()t(3)分解重构本质上，小波分解是众多正交基下函数展开的一个特例。关键在于小波基独特的多分辨结构和时频局部化特性使得它在信号处理时比其它的正交基（如：三角级数、正交多项式、一般的原子分解等）在计算上
3、更快速、在处理上更有效。不同于连续小波，正交小波基在相关结构上具有更高的要求。因此，正交小波的构造是非常具有技巧性的。构造正交小波基的基本支撑是多分辨分析（Multiresolution---1---analysis,MRA）.7.1多分辨分析的基本概念定义7.1：多分辨分析(MRA)2一个L()R上的子空间序列{Vjj，∈Z}满足下列5条性质:①嵌套性质：Vj+1⊂Vj∀j∈Z……VV−10⊃⊃V1……②细分性质：∞limVVjj==∩{}0j→∞j=−∞③完备性质：∞2limVCjj==losur
4、eVLR(∪)()j→−∞j=−∞④多尺度关系：tf()tVf∈⇔jj()∈V+12⑤尺度内结构：存在V0的一组Rieze基由一个函数θ()t的整数平移构成，即：Vs0=pantnn{θ()−∈,Z}(4)所谓Rieze基是指，存在正常数A,B>0使得∀∈f()tV0f()ta=∑()(nθt−n)满足：222∞Afa≤≤∑()nBf(5)n=−∞---2---从多分辨率分析的定义容易得出下列结论：♥多分辨逼近2∀∈fLR(),设P()f表示f(t)在子空间V上的正交投影，那jj么，2limfPf−j
5、()=0.j→−∞−∞这表明了，函数序列{(Pfjj)}=+∞当j→−∞时依范数收敛于f()t。因此，函数序列Pj()f称作函数f(t)的一个多分辨逼近。♥多分辨基的相似结构−−jj/2Vj=−span{2(θ2)tnn,∈Z}(6)也就是说，一旦知道了在某个多分辨子空间上的一个Rieze基，其它子空间上的Rieze基具有相似的结构。证明：首先由性质④，−jj/2−θθ()tnV−∈⇒02(2tnV−∈)jj∀∈⇔f()tVftVj(2)∈0jf(2)ta=∑()(nθt−n)ij''−2,2ttt=
6、=tjj/2−−/2j⎯⎯⎯⎯⎯⎯→f()ta=−∑(2()2n)(θ(2tn))这表明了这些函数张成了子空间V。下面说明这些函数构成Riezej基。jj∀∈⇔f()tVftVj(2)∈0，f(2)ta=∑()(nθt−n)，因此，---3---jj222Af(2)⋅≤≤an()Bf(2)⋅j−j令t==2,xdx2dtjj222dt12f(2)⋅=∫∫RRf(2x)dx=ft()jj=f22jj/2−−/2jf()ta=−∑(2()2n)(θ(2tn))于是，22jj/222jj2Af≤=2(an)
7、2a≤2(Bf2⋅)=Bf2这也表明了所有子空间的Rieze基具有相同的上下界。♥双尺度方程从θθ()t∈V01⊂=V−span{2(2tnn−∈),Z}可以得到θθ(th)=∑∑(nt)2(2)2(−=nhn)θ(2t−n)(7)nn上面的方程被称作双尺度方程。相应的系数h(n)被称作尺度滤波器。特别是，当尺度滤波器满足一个比较宽松的条件时，双尺度方程存在2L(R)解，并且解在相差一个非零乘子意义下是惟一的。♥正交多分辨分析如果函数θ()t满足平移正交性，即⎧1nm=θ()tntm−−=−,θδ()
8、(nm)=⎨(8)⎩0mn≠那么，{θ()tnn−∈,Z}构成了子空间V0的标准正交基。进一步，函数−−jj/2族{2(θ2)tnn−∈,Z}构成了子空间Vj的标准正交基。---4---结果，多分辨分析的每个多分辨子空间有一组标准正交基，相应的多分辨分析称作正交多分辨分析。与多分辨分析相联系的另一个概念是多尺度分析（MultiscaleAnalysis）.多尺度分析是比多分辨分析更广泛的一个概念。从应用的角度看，信号的多尺度分析等同于在不同的分辨率下观察
