数学概念教学的实践与思考

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1、“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”结题报告之一数学概念教学的实践与思考陶维林（江苏南京师范大学附属中学210003）自2006年10月参加“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”课题研究，笔者在教学中更多地运用从课题研究中学习到的一系列理论，尤其是教学设计的理论；在课题研究中，受到了来自课题组其他老师的经验、点拨获得启发，在教学中更多地加强了对教学设计的研究．本文小结在课题研究中，笔者所实施的课堂教学的几个案例，并对有关概念教学的教学设计作出一些思考，供同行参考．不当之处，敬请指正．1．概念教学应该围

2、绕概念的核心展开核心概念的教学应当围绕概念的核心展开，教学设计应该加强对概念核心的理解的教学设计．函数概念是中学数学中的核心概念之一，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终．理解函数概念及由其反映的数学思想方法，学会用函数的观点和方法解决数学问题和现实问题，是高中阶段最重要的数学学习任务之一．因此，搞好函数概念的教学至关重要．另一方面，函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一，无论是教师的教还是学生的学都存在很大困难．函数概念的核心是“对应关系”（也称为对应法则），围绕“对应关系”这个核心开展教学就显得十分重要．但是，笔者曾

3、经在某地一所比较好的学校教学函数的概念，这些学生其实已经学习过函数概念，但是30人中仍然有29人认为由图象给出的函数以及由表格给出的函数，其“对应关系”是说不出来的．因为其对应关系“说不出来”，所以认为以图象形式表示的以及以表格形式表示的函数都不是函数．29∶1，这不应该是学生的问题．由此暴露出，在函数教学中关于“对应关系”是什么的教学并没有得到落实．在函数概念教学中，教师常常把重心放在定义域、值域的计算上，放在有解析式表示的那些函数上．教学中即使重视，也只是重视了那些“关键词”的解释．在现实世界中，显然大量的函数是由图象或者表格给出

4、的．即便是一个由解析式给出的函数，学生指出“对应关系”的方法就是把这个解析式再念一遍，并不明白在这个函数中“对应关系”到底指什么，因而也不会用自然语言来叙述．所谓对应关系，就是给出自变量x的值之后，如何找到与之对应的函数值y，即按照什么规则，什么路径去找到这个y．比如，函数y＝的对应关系是，给出一个非负数，“取它的算术平方根”这就是与这个非负数对应的y的值，就是对应法则．或者说“非负数与它的算术平方根对应”．也可类比成“给出正方形的面积，去找出这个正方形的边长”．再比如，图1中的曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：

5、00上海证券交易所的股票指数的情况．其对应关系就是：在横轴上任意给出一个属于上午9：30至下午3：00的时刻，作出经过这个时刻的与横轴垂直的直线，找出这条直线与股票价格指数曲线的交点，这个交点的纵坐标就是与这个时刻对应的价格指数．图19再比如，下面是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表：序号123环数898这个函数所表示的对应法则就是：给出一个打靶次序，在表格的第一行找到这个序号，与这个序号位于同一列的那个环数就是与这个次序对应的环数．在教学中，怎样让学生感受、体验函数概念中的“对应关系”这个核心，突破教学的这个难点呢？怎样

6、理解抽象的符号“f：A→B，y＝f(x)，x∈A，f(x)∈B”？尤其是对应关系f到底是什么含义？我们采用的方法是，在学生已有认知基础上，充分利用初中学过的函数和生活实例，通过师生共同举例，以及对每一个实例的分析（由自变量值找对应的函数值的过程），让学生领悟对应关系f的含义（这是重中之重），体会限定变量x，y的变化范围的必要性，体会在其变化范围内变量的依赖关系，进而逐步使学生学会用数量关系刻画两个变量的依赖关系．为了认识抽象符号f(x)，特别注意采用从从特殊到一般、从具体到抽象的方法，以大量的、形式多样的实际问题为依托，使抽象符号f(

7、x)具有坚实的具体背景，使学生更好地体会它所包含的具体信息：f(x)是数集A中的数x在对应法则f的作用下所对应的数集B中的一个数．这个数f(x)由两个因素确定，自然应当包含两个方面的信息，一个是对应关系f，一个是自变量x．就好象一个学生的名字叫“刘李一”，是因为她父亲姓刘，母亲姓李，在她身上包含了父亲与母亲两个人的信息．为了加深对f(x)的理解，对于解析式给出的函数的“对应关系”再进行适当的“等值语言”叙述的训练．由于由图象、表格给出的函数，定义域、值域更加明确（不需要费力去求），又了解对应关系如何确定，不再认为对应关系“说不出来”，

8、确信它们也符合函数的定义，使得对函数概念的理解更加全面．在教学中，笔者感受到，对于函数概念的教学，由于突出了“对应关系”这个核心，学生有了更多的由自变量的值x找与之对应的函数值y的过程的体验，对函数概念中的“每一个”、“