同构概念的教学思考与实践

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1、同构概念的教学思考与实践　　【摘要】同构是对代数结构进行比较和分类的最好方法，它也是解决实际问题的一种具体的手段和重要的工具.高等代数教学中要重视同构概念的教学，要从概念的引入，例题、习题的补充，同构思想的运用等方面入手，让学生充分理解同构的概念，强化学生的同构思想，提高同构概念教学的有效性，培养学生的学习热情.　　【关键词】高等代数；同构；教学　　【基金项目】云南财经大学课程建设基金项目――线性代数精品课程建设（YC41611350005）.　　【中图分类号】G642【文献标识码】A　　一、问题的引入　　在向量空间中，同构的概念和思想如下：　　定义：设V和W是数域F

2、上的两个向量空间.V到W的一个映射f叫作一个同构映射，如果　　（?。?f是V到W的一一映射；　　（??）对于任意ξ，η∈V，f（ξ+η）=f（ξ）+f（η）；　　（?＃?对于任意a∈F，ξ∈V，f（aξ）=af（ξ）.　　如果数域F上两个向量空间V与W之间可以建立一个同构映射，那么就说V与W同构.8　　高等代数主要研究的一个对象是代数结构，而对代数结构进行比较和分类的最好方法就是同构.同构思想是代数学中一种非常重要而又常见的思想，在高等代数中的应用也非常广泛，它是研究代数结构的共性和差异的一种思想方法，它不但是宏观上进行重大课题研究的重要思想，而且也是解决实际问题的一

3、种具体的手段和工具.同构思想表明，若两个代数结构同构，则它们是一种等价关系，将具有相同的代数性质，它告诉我们一个非常深刻的道理，就是两个集合尽管元素完全不同，运算也各异，但从代数结构角度来看，可以视为本质上是一模一样的，这就是同构的思想.如果两个向量空间是同构的，那么一个向量空间所具有的运算性质，另一个向量空间必具有相同的运算性质.于是在研究一些相对抽象的代数结构时，我们可以通过建立一个同构映射，把它转化到一些相对具体的代数系统结构上来讨论，达到化难为易，化繁为简的功效.　　在高等代数教学中，教师讲清楚同构这部分内容，并恰当地把同构思想渗透到教学中，通过习题求解的训练

4、，让学生不仅能够使问题得到简化产生自信心，而且能逐步形成运用同构的思想方法解决实际问题的思维模式和思维习惯，对后续课程的学习产生积极影响.　　如何进行同构概念的教学，学生接受情况又如何，是教师应认真进行准备和调研的，这对有效进行教学非常重要.　　二、同构概念教学的现状及实践　　在对正在学和已学过高等代数的同学进行调查时发现，许多同学对同构概念提出了以下几个问题：　　（1）我们知道同构是个映射，但不知它想说明什么？　　（2）老师一直强调同构很重要，但至今我们也不知同构能有什么用？8　　（3）教材中除了“同构”一节提到同构概念外，为什么其他章节好像再也没见到明确“同构”作

5、用的内容？　　从调查及与同学们的交流我们知道，绝大多数同学对同构概念很不清楚，不知道学习它的意义，更不了解它有何作用.这一方面说明了同构概念学习的难处，另一方面也说明任课教师在教学上有一定的责任.在教学中，我们应注意以下几点.　　1.让学生充分理解同构概念及其意义　　我们的教学安排是大学一年级上、下两学期学习高等代数.对于大一的学生来说，还没对向量空间这一抽象概念完全领悟，又进入其下的同构概念的学习，懵懵懂懂跟着老师的脚步走，理解和掌握的难度可想而知.尤其对张禾瑞《高等代数》“向量空间的同构”一节的这段话“一个向量空间就是一个带有加法和标量与向量的乘法的集合.我们的着

6、眼点主要在于运算，至于这个集合的元素是什么对我们来说是无关紧要的.从这个意义上来讲，同构的向量空间本质上可以看成一样的”很难理解.对教材的结论和性质学生往往只能死记硬背，知其然而不知其所以然，更不会灵活运用.　　为了能使学生容易理解和掌握同构的概念，我们在讲解时可先引入这样一个例子：在中学我们学过复数a+bi，a，b∈R，那么为什么复数还能用平面上的点（a，b）表示呢？我们发现：　　（1）全体复数a+bi，a，b∈R与平面上的点（a，b），a，b∈R存在一一映射f，使得f：a+bi　　MTExtraaA@（a，b）；8　　（2）对于任意a，b，c，d∈R，有　　（?。

7、?f：（a+bi）+（c+di）　　MTExtraaA@（a，b）+（c，d）；　　（??）f：k（a+bi）　　MTExtraaA@k（a，b），k∈R.　　即映射f还保持着线性运算，也就是代数结构相同，它说明复数集和平面上的点集之间可以从一个集合的已知结论去推出另一集合未知的相应结论.由于全体复数集合与平面上点集满足这样一种关系，就足以令人信服地把它们视为同一事物.然后在这个基础上再讲解两个向量空间同构的抽象概念，学生会感到直观生动易于理解，并且进一步认识到全体复数集与平面上的点集它们都是彼此同构的，所以能互相表示同一个集合.学生就容易明白，要研