最短路径问题和最小

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1、最短路径问题——和最小【典型例题】1、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．192、如图，抛物线y＝x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（

2、3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．193、已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝x＋对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．194．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（－1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交

3、点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a＋1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．195、如图，抛物线y＝(x-3)2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD．求证：

4、∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．196、已知：直线l：y＝﹣2，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO＝PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y＝ax2＋bx＋c于点A、B，

5、分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD＋FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．19【举一反三】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．192、在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c（b

6、，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．193、如图，在

7、直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．19最短路径问题——和最小【典型例题】1、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当

8、m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2