指数函数与对数函数图象交点问题

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1、现代教育技术在新课程改革中的应用举例图一一一一一一图四一四对于指数函数与对数函数的交点问题，教材以及很多资料的观点是它们可能没有交点（如图一），可能有一个交点（如图二、三，图二应该是公共点），可能有两个交点（如图四）。这从指、对函数图象上很容易发现其正确性。但是，实际上，指对函数可以有三个交点，下面先举一例验证之。2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）第15题：在P（1，1），Q（1，2），M（2，3）和N（，）四点中，函数y=ax的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点第4页（共4页）APBQCMDN这一题答案是D。

2、初思之，感觉应该是P，细思之，则不可能，如果x=1，y=1，则此时底数a必为1，故不可能是P。可以求得N（，）可能在指数函数y=ax和它的反函数上，代入y=ax可知a=。下面就这一函数来研究一下，对同一底数的指数函数与对数函数的交点问题作一详细论证。指数函数y=()x与对数函数y=，因为它们互为反函数，且两个都是单调递减函数，所以它们显然有一个公共点在直线y=x上（如图三所示），另外，A（，），B（，）也同时满足这函数y=()x，与函数y=，这说明A，B必是指数函数y=()x与对数函数y=的图象的交点。这样看来，指数函数、对数函数是可以有三个

3、交点的。本例便可以说明。但是，互为反函数的两个函数如何会出现三个公共点呢？它们是一种什么样的关系呢？这似乎又有点匪夷所思。下面不妨利用几何画板，以同一底数的指、对函数图象为例，来看一下它们有三个交点的情况，以及它们的公共点是如何变化的。在几何画板中，任取一线段AB，度量出AB的长度a，就以a为指数函数与对数函数的底数，在几何画板中，将线段当a由a＞1逐渐缩小到a＜1时，我们可以观察到指、对函数没有交点，一个交点，两个交点，再到一个交点的过程，如上面的图象所示非常显然。让a继续缩小，大约a=0.03时，“奇迹”出现了，指、对函数的图象居然很清楚

4、地出现了三个交点，如图五所示。第4页（共4页）这是我们始料不及的，很多资料上，甚至教材上都说过，指、对函数图象可以没有交点，可以有一个交点，可以有两个交点，但是，利用几何画板可以演示原先我们想象不到的结果，本结论就是一例。几何画板是一个很优秀的数学教学软件，它的最大特点就是动态性，能在运动状态下保持对象间不变的几何关系，这是传统教学所无法比拟的，尤其是图象，很多结论我们用传统教学所得不到的，利用它，可是轻而易举。现代教育技术的确可以有效地弥补我们传统教学中的一些盲区。实际上，对于很多函数，我们根本无法知道其图象，甚至无法知道它的大体形状，但是

5、，利用几何画板，第4页（共4页）可以很准确地绘出它们的图象，有利于研究函数的一些性质。开拓我们的视野，将我们现在的数学眼光引领到一个新的天地──实验法。通过本例，进一步阐述了知识来源于实践这一道理，一些知识，让学生在实践中获得，我相信，比直接灌输给学生要强百倍，千倍。更为重要的是，它突破了一种传统观念，其实，数学也可以象物理，化学一样用实验法，只不过是这种实验是在微机上。第4页（共4页）