利 用 矩 阵 乘 法 解 决 十 个 经 典 题 目

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1、利用矩阵乘法解决的十个经典题目原作者所有于Matrix67    好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。    不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2

2、行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：        下面的算式则是一个1x3的矩阵乘以3x2的矩阵，得到一个1x2的矩阵：        矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所

3、有的k和l）。经典题目1给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转    这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩

4、阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。    经典题目2给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都modp。    由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4=A*A*A*A=(A*A)*(A*A)=A^2*A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n=A^(n/2)*A^(n/2)；当n为奇数时，A^n=A^(n/2)*A^(n/2)*A（其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^

5、3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。经典题目3POJ3233(感谢rmq)    题目大意：给定矩阵A，求A+A^2+A^3+...+A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据modm。k<=10^9。    这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：    A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=(A+A^2+A^3)+A^3*(A+A^2+A^3)    应用这个式子后，规模k减小

6、了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A+A^2+A^3，即可得到原问题的答案。经典题目4VOJ1049    题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。m<=10,k<2^31。    首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1234置换为3124，相当于下面的矩阵乘法：        置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分

7、计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。经典题目5《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）    大家自己去看看吧，书上讲得很详细。解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。经典题目6给定n和p，求第n个Fibonacci数modp的值，n不超过2^31    根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2x2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一

8、次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2x2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2x2的矩阵很容易构造出来：    经典题目7VOJ1067    我们可以用上面的方法二分求出任何一个