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1、数列求和及综合应用解答题1.(2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项.(2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式.【解析】(1)设数列{an
2、}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn
3、>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n.当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.第15页共15页2.（2014·湖北高考理科·Ｔ18）已知等差数列满足：＝2，且成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【解题指南】（Ⅰ）由，，成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列的通项；（Ⅱ）根据的通项公式表示出的前n项和公式,令，解此不等式。【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成
4、等比数列，故有化简得，解得或当时，当时，从而得数列的通项公式为或。（2）当时，。显然此时不存在正整数，使得成立。当时，令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41。综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41。3.（2014·湖南高考理科·Ｔ20）（本小题满分13分）已知数列{}满足（1）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．第15页共15页【解题提示】（1）由{}是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，
5、再利用成等差数列，得到关于p的方程即可；（2）{}是递增数列，{}是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。【解析】（1）因为{}是递增数列，所以，又，，因为成等差数列，所以，解得，当，，与{}是递增数列矛盾，所以。（2）因为{}是递增数列，所以，于是①由于，所以②由①②得，所以③因为{}是递减数列，所以同理可得，④由③④得，所以，所以数列{}的通项公式为．4.（2014·湖南高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.第15页共15页【
6、解题提示】（1）利用的关系求解，（2）分组求和。【解析】（1）当时，；当，故数列的通项公式为（2）由（1）知，，记数列的前2n项和为，则记,，则，故数列的前2n项和5.(2014·广东高考文科·T19)(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值.(2)求数列{an}的通项公式.(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.【解题提示】(1)可直接令n=1.(2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n≥2).(3)先
7、对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.【解析】(1)令n=1,则S1=a1,-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,即+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3(舍去).(2)-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0第15页共15页可以整理为(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,因为数列{an}中an>0,所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).(3)因为==·<·，=-
8、,所以++…+<==-<.故对一切正整数n,有++…+<.6.（2014·浙江高考理科·Ｔ19）（本题满分14分）已知数列和满足.若为等比数列，且（1）求与；（2）设，记数列的前项和为.①求；第15页共15页②求正整数，使得对任意，均有.【解析】（1）由题意，知又由，得公比（舍去），所以数列的通项所以，所以数列的通项（2）①由（1）知所以②因为，；当时，而得所以，当时，综上，对任意恒有，故.7.（2
