数列求和及数列的综合应用

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1、数列求和及数列的综合应用一、选择题1．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)A．3×44　　　　　　　　B．3×44＋1C．44D．44＋1【解析】　因为an＋1＝3Sn，所以an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得：an＋1－an＝3an，即＝4(n≥2)，所以数列a2，a3，a4，…构成以a2＝3S1＝3a1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a6＝a2·44＝3×44.【答案】　A2．(2013·昆明模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是(　　)A．16B．20C．33D．120【解

2、析】　a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.【答案】　C3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn【解析】　由已知得an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－lnn.于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn.【答案】　A4．若数列{an}满足－＝d(

3、n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列{}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是(　　)A．10B．100C．200D．400【解析】　由已知得－＝d，即bn＋1－bn＝d，∴{bn}为等差数列，由b1＋b2＋…＋b9＝90，得9b5＝90，b5＝10，b4＋b6＝20，又bn>0，所以b4·b6≤()2＝100，当且仅当b4＝b6＝10时，等号成立．【答案】　B5．(2013·青岛模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　)A

4、．0B．－100C．100D．10200【解析】　∵an＝f(n)＋f(n＋1)，∴a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]．又∵f(n)＝n2cos(nπ)，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝＝5050，f(2)＋…＋f(101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－…－201＝＝

5、－5150，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]＝－5150＋5050＝－100.【答案】　B二、填空题6．(2013·泉州模拟)数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值为________．【解析】　因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1025的最小n值是11.【答案】　117．(2013·吉林模拟)已知正项等比数

6、列{an}中，a1＝3，a3＝243，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.【解析】　设数列{an}的公比为q(q＞0)，因为a3＝a1q2，解得q＝9，所以an＝a1qn－1＝3×9n－1＝32n－1，所以bn＝log3an＝log332n－1＝2n－1，所以＝＝，所以数列的前n项和Sn＝＋…＋＝＝＝×＝.【答案】　8．(2013·课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．【解析】　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得

7、解得∴nSn＝n2a1＋d＝－3n2＋(n3－n2)＝n3－，∴(nSn)′＝n2－，令(nSn)′＝0，解得n＝0(舍去)或n＝.当n＞时，nSn是单调递增的；当0＜n＜时，nSn是单调递减的，故当n＝7时，nSn取最小值，∴(nSn)min＝×73－＝－49.【答案】　－49三、解答题9．(2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.【解】　(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2

8、＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0