全等三角形辅助线经典做法习题

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1、全等三角形证明方法中辅助线做法一、截长补短通过添加辅助线利用截长补短,从而达到改变线段之间的长短,达到构造全等三角形的条件1.如图1,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.              分析:要证AC=AE+CD,AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE,则只要证明CF=CD.证明:在AC上截取AF=AE,连接OF.∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°,∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°.显然,△AEO≌△AFO,∴

2、∠5=∠4=60°,∴∠7=180°-(∠4+∠5)=60°在△DOC与△FOC中,∠6=∠7=60°,∠2=∠3,OC=OC∴△DOC≌△FOC,CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD.2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB,AC,CD三者之间的数量关系,并说明理由.3.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明.4.如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,E是DC的中点.问:AD,BC,AB之间有何

3、关系?并说明理由.5.(德州中考)问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.(1)小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.一、倍长

4、中线(线段)造全等利用三角形的中位线,在很多题目中我们很能直接找出全等三角形,所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。2:如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.解:延长FD于K,使得DK=DF∵DE⊥DF∴∠EDK=∠EDF=90º又∵DK=DFED为公共边∴⊿EDK≌⊿EFD∴EK=EF已知,△ABC中,AB=4cm,BC=6cm,BD是AC边上的中线,求BD的取值范围.已知:如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD.求证:AE=AC.如图,AB=AE,

5、AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:DE=2AM.一、作平行线在遇到角平分线的时,可按照以下两种方式构造平行线,(1)过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交,(2)过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。3.如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连接DE交BC于F.求证:DF=EF.                   证明:作DH∥AE交BC于H.∴∠DHB=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB∴∠DHB=∠B,DH=BD

6、∵CE=BD∴DH=CE又DH∥AE,∠HDF=∠E∠DFH=∠EFC(对顶角)∴△DFH≌△EFC(AAS)∴DF=EF四、补全图形4.如图4,在△ABC中,AC=BC,∠B=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a,求BE的长.                证明:延长AD、BC相交于F.由BD为∠ABC的平分线,BD⊥AF.易证△ADB≌△FDB∴FD=AD=aAF=2a∠F=∠BAD又∠BAD+∠ABD=90°,∠F+∠FAC=90°∴∠ABD=∠FAC∵BD为∠ABC的平分线∴∠ABD=∠CBE∴∠F

7、AC=∠CBE,而∠ECB=∠ACF=90°,AC=BC∴△ACF≌△BCE(ASA)∴BE=AF=2a已知:如图,在△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,AE平分∠BAC,BE⊥AE,求证:BE=AD.五、利用角的平分线对称构造全等5.如图5,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.证明:AD=CD.                证明:在BC上截取BE=BA,连接DE.由BD平分∠ABC,易证△ABD≌△EBD∴AD=DE∠A=∠BED又∠A+∠C=180°,∠BED+∠DEC=180°∴∠DEC=∠

8、C,∴DE=CD∴AD=CD

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