释疑解难（第一期）

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1、释疑解难（第一章）一、证明：若，则当充分大时，有。证：因为，所以对，，当，，即若，则若，则都有。二、函数在内是否有界？又当时，这个函数是否为无穷大，为什么？解：⑴无界。，取，，则。⑵当时，函数不是无穷大。因为不论取得多么大，取有，使。24三、设在上连续，，证明：，使。证：令因为在上连续，所以在上连续。则⑴若、、、全等于，则取即可；⑵若、、、不全为，这四个函数值中就一定有正有负，在取得正、负函数值之间，，使，即。四、求极限。解：原式=五、求极限。24解：原式===。六、已知，试求、的值。解：∵∴==由，解得，。七、设，，证明：存在，并求其值。证：因为，假设，则24所以对一切，，数列下方有界

2、；数列单调减少，∴存在。设=，则，解得，（舍去）∴。八、设函数对任意的，满足，且在处连续。试证在区间上连续。证：∵，∴，∵在处连续，∴从而，即在处连续，由的任意性，在区间上连续。24释疑解难（第二章）一、当取什么自然数时⑴在处是连续的；⑵在处可微分；⑶在处导数是连续的。解：⑴时，===又时，连续∴时，连续⑵=∴时，，可微⑶，要使只要二、设，其中为连续函数，且，求、，并说明函数在处是否可导。证：24====∵，∴在处不可导。三、设，求、。解：==四、适当地选定参数与，用立方抛物线在区间上把两个半直线及光滑地连接起来。解：，，∴24解得：，。五、⑴若函数在点可导，而函数在点不可导，能否判断它

3、们的和及它们的积在点的可导性？⑵若函数与在点都不可导，能否判断它们的和及它们的积在点的可导性？解：⑴若在点可导，则在点可导，与已知矛盾，所以在点不可导；设在处可导，在处不可导，而在处可导，且，所以不能确定在点处是否可导。⑵设，都在处不可导，但=，=都在处可导，所以不能确定、是否可导。六、试证明：⑴可导的偶函数的导数是奇函数；⑵可导的奇函数的导数是偶函数；⑶可导的周期函数的导数仍然是周期函数，且周期不变。证：⑴设可导，则为奇函数；⑵设可导，则为偶函数；24⑶设可导，则仍然是周期函数，且周期不变。七、在什么条件下，三次抛物线与轴相切？解：设切点，则，得∴由⑵，代入⑶，得，此时曲线与轴相切。八

4、、证明星形线（）的切线介于坐标轴间的部分的长为常量。证：设是曲线上一点，切线的斜率切线令，令，=∴。24释疑解难（第三章）一、设函数在上连续，在内可导，，，试证明方程在内有唯一实根。证：令⑴在上连续，且，由零点定理知方程在内至少有一个实根.⑵设方程在内有两个实根、由罗尔定理知，在与之间即在内至少存在一点，使从而，这与已知矛盾，故方程在内至多有一个实根.综上所述，方程在内有唯一实根。二、设在区间内，函数恒满足，证明为常量函数。证：对任，取，使，由已知，即由夹逼定理知，即24所以为常量函数。三、设函数在上连续，在内可导，且证明：存在，使当时有.证：对在上用拉格朗日中值定理，有（）取，当时有.

5、四、设函数可导，证明：在的任意两个零点之间，必有的一个零点。证：设、为的任意两个零点，且令，对在区间上用罗尔定理，，使，由此可以得到，，故结论成立。五、求、，使.解：由条件一定有所以=24=.六、利用泰勒公式求极限.解：因为，所以原式=.七、设函数在上可导，且满足，，，证明：.证：作辅助函数因为所以在上单调不增，对任，有从而，又已知，故.八、设函数在点处满足，证明：是的极值点。证：设（的情形类似可证）由，知在处取得极小值24所以存在某邻域，对任有故在单调增加因为，所以当，；当，从而在单调减少，在单调增加，是的极小点。九、设在上可导，，，，求证：在内至少有两个零点。证：⑴因为，所以，当时，

6、有，即而，因此函数在内取得最大值，即存在，使是最大值，从而有；⑵类似可证，函数在内取得最小值，即存在，使是最小值，从而有；综合⑴、⑵得到：在内至少有两个零点。十、写出极坐标表示的曲率公式。解：设曲线的极坐标方程为，写成参数方程为24，所以曲率=.24释疑解难（第四章）一、设，且，求.解：由，得所以=.二、设，可微且反函数存在，则=.证：===.三、求.解：==.四、求.解：24=.一、求.解：==.二、求.解：记，解这个方程组，得到=.同时还得到=.三、求.解：===.24八、求.解：====.24释疑解难（第五章）一、计算.解：===.注：是以为周期的函数。二、设连续，且，，求.解：=

7、==由，有.三、计算.解：令，有=故24所以.四、设是区间上的连续函数，，试证：在区间内，方程至少有一个实根。证：作函数，则在上连续，在内可导，，由Rolle中值定理，，使，即方程在区间内至少有一个实根。五、设⑴证明：为偶函数；⑵求在上的最大值、最小值。解：⑴∴为偶函数⑵令，得驻点：，因为为偶函数，故，所以在上的最大值为，最小值。24六、设为连续函数，证明：.证：=.七、证明：=，并计算（）。证：故=+=所以==从而得到.24释疑解