线性代数第二章释疑解难

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1、释疑解难答矩阵是线性代数中最重要的部分,它是线性代数的有力工具.它是根据实际需要提出的,大量的问题借助它可以得到解决.譬如,一般线性方程组有解的充要条件是用矩阵的秩表示的;作为解线性方程组基础的克拉默法则也可以用矩阵运算导出.二次型的研究可以转化为对称矩阵的研1.为什么要研究矩阵?究;化二次型为标准形,实际上就是化对称矩阵为合同对角形与合同标准形;线性变换可以用矩阵来表示,从而把线性变换的研究转化为矩阵的研究.矩阵运算的实质,是把它当作一个“量”来进行运算,因而使得运算得到大大简化.2.任何两个矩阵A，B都能进行加(减)和相乘运算吗?答不是.(1)只有当A,B为同型矩阵时,才能进行加(减)

2、运算.(2)只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时,A与B才能相乘,这时AB才存在.3.两个矩阵A，B相乘时,AB=BA吗?

3、AB

4、=

5、BA

6、吗?答AB不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB和BA都存在,此时A，Ｂ应为同阶方阵.其次矩阵的乘法不满足交换律.在一般情况下,ABBA.但对同阶方阵A，B,

7、AB

8、=

9、BA

10、是一定成立的.因为对于数的运算,交换律是成立的,即

11、AB

12、=

13、A

14、

15、B

16、=

17、B

18、

19、A

20、=

21、BA

22、.4.若AB=AC能推出B=C吗?答不能.因为矩阵的乘法不满足消去律.例如则AB=AC,但BC.5.非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩阵吗?答非零矩阵相乘的结果可

23、能是零矩阵.例如但又如但6.设A与B为n阶方阵,问等式A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是什么？答A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是AB=BA.事实上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2-B2=(A+B)(A-B)当且仅当BA-AB=O，即AB=BA.7.设A，B，C是与E同阶的方阵,其中E是单位矩阵.若ABC=E，问：BCA=E，ACB=E，CAB=E，BAC=E，CBA=E中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？答由于ABC=E，说明BC是A的逆矩阵，AB是C的逆矩阵，由于任何方阵与其逆矩阵相乘可交换，故总有BCA=E，CAB=E成立.而其他

24、的等式不一定成立.8.设方阵A满足ax2+bx+c=0(c0),即有aA2+bA+cE=O.问：A可逆吗？若可逆求A-1.答由aA2+bA+cE=O及c0，可得从而A为可逆方阵，而且9.如果一个方阵的逆矩阵存在，求它的逆矩阵都有些什么方法？答可以利用伴随矩阵法，即还可以利用分块矩阵法求逆；利用解方程组的方法求逆；利用矩阵的初等行变换法求逆等等.10.有没有不是方阵的矩阵A，B，满足AB=E？答有.例如则11.是否存在n阶方阵A和B，能使AB-BA=E？答没有.设A=(aij),B=(bij)为任意两个n阶方阵，则AB主对角线上的元素为它们的和为同样，BA的主对角线上的元素的和为这说明A

25、B与BA的主对角线上的元素的和相等，从而AB-BA的主对角线上的元素的和为零.但是，单位矩阵E的主对角线上元素的和为n0,故对任意的同阶方阵A，B，都有AB-BAE.12.若A可逆，那么矩阵方程AX=B是否有唯一解X=A-1B？矩阵方程YA=B是否有唯一解Y=BA-1？答是的.这是由于A-1的唯一性决定的.13.矩阵A的伴随矩阵A有什么特点？答有两个特点，一是元素是由aij的代数余子式Aij所构成；二是A的第i行的元素aij的代数余子式Aij写在A的第i列，即本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂

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