勒让德变换-科学网—博客

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1、勒让德变换武际可.§1勒让德变换的提出法国数学家、天文学家勒让德（Legendre,Asrien-Marie，1752-1833）出生在一个比较富有的家庭，从小受到良好的教育。18岁时，通过了数学物理的毕业论文答辩。只后在大学教授过数学，31岁时被选入科学院。1789年法国大革命后，于1790年宣布要对当时相当混乱的度量衡制度进行改革。科学院组成了一个由拉格朗日为首的委员会。委员会建议以从赤道到北极的一千万分之一为长度基本单位――米，这个方案于1791年被法国国民议会通过。于是就要着手实际测量从赤道到北极的长度。勒

2、让德参加了测量，并且是经度局的一名成员。1813年拉格朗日逝世，勒让德接替他成为经度局的主席。他在数学上的贡献，勒让德多项式就是在计算地球形状时的一项创造。勒让德在数学上的贡献是多方面的，他在解析数论、椭圆函数、几何学、天体力学等方面都有重要的贡献。勒让德像1787年，勒让德在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。勒让德变换在勒让德的贡献中，开始并没有引起人们广泛的注意，而且，开始只是对于几何问题的讨论引进的。不过随着历史的发展，它在无论是数学还是力学与物理中都显示了它的重要性，经过人们对它的推广，被广泛应

3、用于许多方面。勒让德变换是从以下偏微分方程出发的（1.1）其中若令，再令R、S、T仅是p,q的函数。令曲面的切平面为，（1.2）则应当有（1.3）（1.2）式在变量x,y与它们的对偶变量p,q之间给了一个变换。把这个变换具体写出来就是对它求微商得（1.4）考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即，于是有这个变换把一个拟线性方程（1.1）变到一个线性方程（1.3）。§2.勒让德变换令从（2.2）反解出x为t的函数并代入下式（2.5）把这个式子微分得，由此，显然得到u是t的函数，并且对t的导数是x。（2.5）式确定了变量u

4、、y，x、t之间的一个变换。它把y＝y(x)变到了（2.6）同样，由（2.5）可以得，它定义了另一个与上面变换相反的变换。所以这两个变换是相互的，它们的关系是对等的。勒让德变换有这样一个性质，即如果在x、y平面上的两条曲线是相切的，变换到u、t平面也是相切的，反之亦然。具有这种性质的变换称为接触变换。勒让德变换是接触变换的特殊情形。把以上的思想推广到多变量的情形，设有n个变量的函数，它具有直到二阶以上的连续微商，取新的一组变量（2.7）它们组成对原变量的一组变换其雅科比行列式从（2.7）可以把原变量反解出来得（2.8

5、）考虑新函数，（2.9）对上式微分得由此我们证明了（2.10）两个函数和的关系由（2.9）给出。对应的变量和函数的关系分别由（2.7）和（2.10）给出。它们概括了力学与物理中许多对偶关系。§3.勒让德变换在力学与物理中的应用1）.气体的热力学函数在热力学中，常见的自变量或状态变量有：T、S、p、v四个，即温度、熵、压强与体积。这四个变量之间两两对偶，前两个之积和后两个之积的量纲都是能量。用体积和熵为自变量表示的内能U（S，v），有（3.1）可以将自变量改变为其对偶的自变量，于是我们还有和内能同一量纲的三个热力学函数

6、F（T，v）、H（S，p）、G（T，p），即亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它们和内能之间的关系是（3.2）我们看到，这些热力学函数之间的关系恰好是勒让德变换。所以，勒让德变换实际上是在我们得到了一个不变量后，要得到它的对偶自变量下的不变量的一个重要的变换。2）.哈密尔顿函数在分析力学中，我们有描述n自由度系统的拉格朗日第二类方程（3.3）其中L＝T－U这里L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能，（j＝1,2,，n）为系统的广义坐标。如果我们引进系统的广义动量（3.4）可以证明，从上式中我们可以把反

7、解出来作为和的函数。我们希望引进新的函数H，它是p，q的函数。为此令（3.5）我们把两边进行变分并利用（3.3）与（3.4）得比较等式两边，我们就得到（3.6）这就是动力系统的哈密尔顿形式的典则方程。我们看到（3.5）也是一个勒让德变换。另外，由于拉格朗日函数是与的函数，按照（3.5）转换为哈密尔顿函数是和的函数，所以变换是把部分自变量变量变到自变量而保持自变量不变。由此可以知，勒让德变换可以把自变量中的任意个变量变换到它的对偶量。3).弹性力学的余能原理现在我们来讨论弹性体，在（2.9）中，令U为弹性体的势能，它是

8、广义位移q的函数。则就是弹性体的余能。对于弹性体来说，因为自变量是坐标的连续函数，这时（2.9）中的求和号，应当改用积分号。我们知道弹性体的总势能是（3.7）其中是应变张量是应力张量，是体力向量场，是位移场，是体积，是表面积，是体积占据的空间区域，是区域的表面，下标t是表面上给定外力t的部分。（3.8）在满足几何约束的条件下，从总势能的变分可以