正弦函数图像与性质

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1、正弦函数图像与性质正弦函数图像的作出以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，因为sin(2kπ+x)=sinx(k∈Z)，所以正弦函数y=sinx在x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]，x∈[4π，6π]时的图象与x∈[0，2π]时的形状完全一样，只是位置不同。现在把上述图象沿着x轴平移±2π，±4π，……就得到y=sinx，x∈R的图象。叫做正弦曲线．正弦函数y=sinx，x∈R，的图象叫做正弦曲线．例1用五点法作下列函数的简图(1)y=sinx，x∈[0，2π]，(2)y=1+sinx，x∈[0，2π]，(

2、1)(2)y=1+sinx(x∈[0,2π])例2利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：解：在y轴上取点(0,0.5)，过该点作x轴的平行线,与正弦函数图象相交于点等，所以不等式的解集是正弦函数y=sinx性质(1)定义域：y=sinx的定义域是实数集R(2)值域:正弦函数的值域是［－1，1］.①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最大值1；②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1(3)周期性:由sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的这种性质称为

3、三角函数的周期性。正弦函数y=sinx性质对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。（有些周期函数没有最小正周期）.注意：(1)周期函数中，x定义域M，则必有x+TM,且若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；(2)“每一个值”，只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+T)f(x0

4、)）；(3)T往往是多值的（如y=sinx,T=2k都是周期,最小正周期是2π.）(4)奇偶性:由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数,因此正弦曲线关于原点O对称.(5)单调性闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1例3：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。解：因为－1≤sinx≤1,所以－1≤t－3≤1,由此解得2≤t≤4.例4：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.(1

5、)y＝sin2x，x∈R;(2)y=sin(3x+)－1解：(1)令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是｛w｜w＝＋2kπ，k∈Z｝由2x＝w＝＋2kπ，得x＝＋kπ.即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.(2)当3x+=2k+即x=(kZ)时,y的最大值为0.例5：求下列三角函数的周期：y=sin(x+)；(2)y=3sin(+)(3)y=

6、sinx

7、解：(1)令z=x+而sin(2+z)=sin

8、z即：f(2+z)=f(z),f[(x+2)+]=f(x+)∴函数的周期T=2.(2)y=3sin()解：令z=，则f(x)=3sinz=3sin(z+2)∴函数的周期T=4.=f(x+4)=3sin()=3sin(+2)(3)y=

9、sinx

10、解：f(x+π)=

11、sin(x+π)

12、=

13、sinx

14、,所以函数的周期是T=π.一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)（其中）的周期是例6：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0,(1)sin(－)－sin(－)；(2)sin(－)－sin(－)．解：(1)∵且函数y＝si

15、nx，x∈［－，］是增函数即sin(－)－sin(－)＞0(2)sin(－)＝－sinsin(－)＝－sin函数y=sinx在区间()内为增函数,∴sin(－)－sin(－)＜0.