2简单的三角恒等变换

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1、3．2简单的三角恒等变换重点：①半角的正弦、余弦、正切公式及推导．②积化和差公式及和差化积公式的推导．难点：公式的运用．1．半角公式、和积互化公式不要求记忆，要求能够结合题目特点选用公式．若想记忆公式可参照下列口诀：(1)半角公式无理半角常戴帽，半角确定帽前号；数1余弦加减连，余弦用加正弦减，半角正切不用记，同角弦切有关系．若要不用符号式，分母正弦分子减．(2)和差化积公式正和正余弦、正差正后迁、余加余弦积、余减反正弦．(3)积化和差公式正余正弦和，余正正弦差，余积余弦和，正积反余差．注：“反”即添负号换名称．2．倍角公式、半角公

2、式与和(差)角公式的内在联系：(2)注意理解简单的三角变换的思路：①观察不同三角函数式结构形式方面的差异；②观察不同三角函数式所包含的角的差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异．③依据“差异”选取变换途径及公式．(3)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．(4)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，

3、必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化积结果可能不一致．引入辅助角公式也是一种化积公式，在解题中有广泛应用．[例3]化简求值(1)求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值；(2)求sin75°－sin15°的值．[例5]设A、B、C是△ABC的三个内角，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sinAsinBsinC.[分析]左和右积，故考虑和差化积，然后利用A＋B＝π－C转化．[证明]∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝s

4、in[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．∴原式左边＝2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin2[π－(A＋B)]＝2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2sinC·(－2)sinA·sin(－B)＝4sinAsinBsinC＝右边．[例6]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．[分析]从不同的观察角度入手，可产生不同的解题思路．①从特殊角入手，∵40°＝30°＋10°，这样整个式子中只含10°角的正余弦，便于化简有解法一．②从平方关系sin2α＋cos2α＝1入手，可构造对偶式，这

5、样两式相加减都容易化简，有解法二．③平方可降幂，积可化和差，然后由变形后的式子考虑下步变形方法有解法三．④从a2＋b2＋ab入手考虑完全平方式(a＋b)2，化同名，和差化积可产生特殊角，故有解法四．[点评]解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．解法五：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，

6、作推广创新．[答案]B[答案]D[答案]A[答案]C[答案]1