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1、WORD文档下载可编辑第4讲简单的三角恒等变换★知识梳理1．升降幂公式:;2．同角正余弦化积公式，其中；=★重难点突破1.重点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。2.难点：确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。（1）三角变换的基本思路是“变角、变名、变式”问题1:（07江苏）若，，则_____．点拨：已知条件中的角是，待求式中的角是，故只需将条件展开，再由同角关系式来处理。由求出(2)处理三角式的化简、求值和证明问题的
2、基本原则是“见平方就降次，见切割就化弦，充分利用同角关系式，关注符号定象限，象限定符号的特征”。问题2：已知，．求和的值．点拨：本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。先将切化弦，再寻找角之间的关系。由得则因为所以专业资料精心整理WORD文档下载可编辑★热点考点题型探析考点1:三角求值题的处理题型1.给角求值问题[例1]（山东省聊城一中2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试）不查表求值=．【解题思路】要注意到,然后用公式展开.【解析】原式=．【名师指引】给角求值问题一般
3、考虑通过变角凑出特殊解且设法将非特殊角抵消或约去,注意公式的顺用、逆用和变形用.【新题导练】1.(tan5°－cot5°)·解：原式=2．(08海南省)=（）A.B.C.2D.【解析】，选C。答案：C题型2给式求值[例2](惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知．（1）求的值；（2）求的值．【解题思路】第(1)问注意到,第(2)问对三角式化为的表达式.解析：（1）由,， 专业资料精心整理WORD文档下载可编辑．（2）原式＝．【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.例3.(福建省师大附中2008年高三上
4、期期末考试)设向量，若，，求的值。【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解析:【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换【新题导练】1.已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)设∈(0，)，f()＝，求cos2的值.解析：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f()=sin+cos=1（Ⅱ）∵f()=sinα+cosα=,∴1+sin2α=,sin2α=,∴cos2α=∵α∈（0，π）∴2α∈（π，π）∴cos2α<0.专业资
5、料精心整理WORD文档下载可编辑故cos2α=2.已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．求tanα的值；解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．题型3.给式求角例4．(广东
6、省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量，，函数，若且，求的值；【解题思路】先由向量运算得出三角函数间的关系，再进一步处理。解析：∵＝-由得即∵ ∴或∴或-【名师指引】给式求角问题可考虑先求出一种三角函数值，再精确估计角的范围再定角。例5．(2007·四川)已知<<<,(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.【解题思路】由同角关系求出再求；又结合角的范围定角。[解析]（Ⅰ）由，得∴，于是专业资料精心整理WORD文档下载可编辑（Ⅱ）由，得又∵，∴由得：,所以【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已
7、知三角函数值求角以及计算能力。【新题导练】3．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（）.若，且，求角的大小；解析：（Ⅰ）由已知得：则因为4．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求角A；解析：，即，∴，∴．∵，∴．考点2:三角式的化简与证明题型1:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换进行化简求值.例1.化简【解题思路】对三角函数式化简结果的一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式.[解析]原式===专业资
8、料精心整理WORD文档下载可编辑【名师指引】在三角式的化简方向一般为降次,消项.例2:证明tan－tan＝【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：＋＝2x，－＝x－＝x∴sinx＝sincos－cossin①又cosx＋cos2x＝2coscos②①÷②即得：＝－＝tan－tan.【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方
