精确求解无限刚度杆系结构自由振动的基本原理

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1、精确求解无限刚度杆系结构自由振动的基本原理高龙（华南理工大学土木与交通学院，广东广州510640）摘要：本文主要介绍了无限刚度杆系结构的刚度矩阵和质量矩阵的推导，根据达朗伯原理得出结构的振动特征方程，求解出结构的自振频率。关键字：无限刚度杆刚度矩阵质量矩阵自振频率1引言动力问题主要是求岀位移参数随时间变化的反应。位移反应可以通过列岀结构的振动方程来表达，建立振动方程的方法有很多种，例如动力平衡法、变分法、虚功法、能S:法等。本文所论述问题的对象是平面杆系结构，依据的基本原理是扱直接、也扱方便的动力平衡法,即达朗伯原理的直接平衡法

2、。达朗伯原理将质量产生的惯性力施加在结构上，使结构保持动静平衡，最后列出特征方程求解结构的自振频率。对于无限刚和质量均匀分布的杆件，特征方程中的刚度矩阵和质量矩阵迎过本文的方法均能精确的计算岀来，最后得出精确的向振频率和振型。2结构体系的数字化所谓结构体系的数字化就是对结构结点、单元进行编号，通过数字來表达相关的信息和条件。本文的方法是基于矩阵位移法的和计算是通过编制程序实现的，这两点就决定了在进行结构分析时，必须将所有信息数字化。因此，这里首先要解决的问题是将结构的所有信息用数据来描述。2.1结点编号图2-1结点编号Fig.2

3、-1Nodenumber结点是由杆端聚结而成的。如图2-1所示一等截而直杆，杆端编号i和j即为结点编号。对于平面杆件，一般情况下两端各有三个位移分量，即水平位移、竖向位移和转角。对于某些特殊结点的处理，可以采川重号技巧。如图2-2所示，当与铰结点相连吋，各自的线位移相同而转角不同，N•以将各铰结端的转角均作为基本未知量求解，这样虽然增加了未知量的数目，但所有杆件都采用一个结点三个位移分量的原则进行编号，因而单元类型统一，程序简单，通用性强。(a)(b)图2-2结点重号Fig.2-2Nodaldoublenumbers对结点进行编

4、号之后，再对结点位移或结点自巾度进行编号。把结点可能发生的每一个独立位移称为结点的一个自由度。结点定位向呈是由各结点未知量自由度编号组成。本文规定，结点位移按结构的整体坐标来表示，其顺序为：水平位移、竖向位移和转角。每个方向的位移都具有一定的约朿特征。约朿特征包括3个方面的内容，与结点定位向量的关系如下：(D=-h表示该方14位移被约束，结点定位I4U为零；表示整体结构方程无改该位移自由度编号。(2)=0,表示该方向位移无约束，结点定位向量为自由度累加编号；表示该位移在整体结构方程中的自由度编号，并且该位移为独立位移。(3)>0

5、,表示从属关系，约束特征为主结点号；结点定位向量为主结点所对应的自由度编号；主结点号应小于从结点号。(4)<-1，表示非独立位移编号，与独立位移有对应关系；结点定位向S:为非独立位移编号力口一。结点定位向量的三个元素分别表示了该结点的水平位移、竖直位移和转角位移，其中0表示结构没有该方向的位移，负值表示非独立位移，正值表示独立位移，非独立位移与独立位移有相应的关系，这种关系是由不考虑轴向变形和有无限抗弯刚杆件来确定的。通过结点定位向量可以确定该结点定位向量矩阵，该矩阵是3xNN，其中3行分别表示水平方向位移、竖直方向位移和转角；

6、NN表示结构自由度数，即独立位移数，也称为弹性自由度，他包括了结构的动力自由度，也就是说弹性自由度要大于等于动力自由度的。2.2单元编号及单元定位向量矩阵形成前文已经明确了结点编号和结点定位向呈的形成，而任意相邻结点间的杆件就形成了一个单元，这样就把结构分解为有限个较小的单元，即所谓的离散化了。结构离散化的目的是在较小的范围内分析单元的内力与位移之间的关系，建立所谓单元刚度矩阵。有了结点定位向量，那么单元定位向量由结点定位向量形成，结点定位向量是一个3维的向量，而单元包招了两个结点，即始端结点和末端结点，那么单元定位向量是一个6

7、维的向量，用表示。单元定位向量明确规定了单元与结构的定位与连接，根据单元定位向量，可以将各单元的刚度矩阵进行集成，得出结构的刚度矩阵。类似结点定位向量构成单元定位向量，单元定位向量矩阵也是通过结点定位向量矩阵形成的。3结构刚度矩阵的推导随着电子计算机的出现和广泛应用，而传统的分析方法难以完成大型S杂问题，于是适合电算的分析方法一一结构矩阵分析，便得到了迅速发展。矩阵位移法是结构矩阵分析的一种方法。传统的矩阵位移法解决的大部分问题是规则、对称等常规性结构问题。矩阵位移法包括两个基本的环节：一是单元分析，二是整体分析。通过单元分析形

8、成单元刚度矩阵,再巾整体分析，将单元刚度矩阵按照单元定位叫a形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方程，从而求出基本未知量。本文将采用一些新做法，例如结点定位向量矩阵，单元定位向量矩阵，独立位移和非独立位移关系的表示方法等。这些新作法主要是针对传统矩阵位移法